La Localización De Las Estructuras Del Modelo

Question

Me llegó la siguiente pregunta, mientras que tratando de entender y aplicar algunas de las ideas de Dugger del artículo Universal Homotopy Teorías.

Supongamos que tenemos un buen modelo de la categoría $\mathcal{C}$, dicen que la izquierda adecuada y celular o combinatoria, así que tenemos una buena teoría de la localización. Estoy mayormente el pensamiento aquí de la categoría de presheaves de simplicial se pone en algún sitio con el proyectivas de la estructura del modelo, donde débil equivalencias y fibrations se definen "pointwise".

Supongamos además, $S$ es una clase de morfismos en $\mathcal{C}$ podemos (izquierda Bousfield) se localizan en [por ejemplo, la clase necesaria para el descenso de hypercovers] y $T$ es un conjunto arbitrario de los morfismos en $\mathcal{C}$.

Ahora, vamos a considerar una fibrant objeto de $X$$\mathcal{C}[S^{-1}]$, es decir, un objeto que es $S$-local (y $\mathcal{C}$-fibrant), y tomar la fibrant reemplazo de $X^f$$\mathcal{C}[S^{-1}][T^{-1}]$.

Es razonable esperar que, bajo algunas circunstancias, o incluso de cierto en general que el mapa de $X \to X^f$ es un débil equivalencia en $\mathcal{C}[T^{-1}]$?

Answer 1

(La pregunta es, básicamente, sobre presentable (∞,1)-categorías, así que voy a tomar la libertad de escribir mi respuesta en ese idioma. Esperemos que las traducciones a la categoría de modelos de lenguaje será sencillo.)

Dentro de $\mathcal{C}$ tenemos la plena subcategorías de $S$-objetos locales, $T$-objetos locales, y $(S \cup T)$-objetos locales, que son todos los reflexiva subcategorías; indicar los asociados localizaciones en $\mathcal{C}$ por $L_S$, $L_T$, $L_{S \cup T}$ respectivamente. Su pregunta es si para $X$ $S$- objeto local, el mapa de $X \to L_{S \cup T}X$ $T$- local de equivalencia, es decir, si $L_T X \to L_T L_{S \cup T} X = L_{S \cup T} X$ es una equivalencia en $\mathcal{C}$. En otras palabras, la pregunta es si, si voy a empezar con un $S$-local objeto de $X$, la localización de la $L_T X$ aún $S$-local.

En general esto no se puede sostener. Por ejemplo, tome $I$ a la categoría de $\ast \to \ast$ y deje $\mathcal{C}$ ser el diagrama de categoría $\mathrm{Fun}(I, \mathrm{Spaces})$. Escribir un típico objeto de $X$$\mathcal{C}$$[X_1 \to X_2]$. Hay conjuntos de $S$ $T$ de morfismos tal que el $S$-objetos locales son aquellos para los cuales el mapa de $X_1 \to X_2$ es una equivalencia y el $T$-objetos locales son aquellos para los cuales $X_2$ es un punto (creo que son $S = \{[\emptyset \to \ast] \to [\ast \to \ast]\}$$T = \{[\emptyset \to \emptyset] \to [\emptyset \to \ast]\}$). A continuación,$L_S[X_1 \to X_2] = [X_2 \to X_2]$$L_T[X_1 \to X_2] = [X_1 \to \ast]$. Claramente el $T$-localización de una $S$-local objeto no necesita ser $S$-local.

Una situación en la que yo creo que la declaración se mantenga surge a partir de la observación de los modelos de un (finitary) esencialmente teoría algebraica dentro de un ∞-topos. La idea es que el topos es una izquierda la localización exacta de una categoría de presheaves de espacios, de modo que la localización de la conserva los límites finitos se utiliza para definir la teoría. Sin embargo, que la localización tendría que ser $T$, no $S$ como en tu ejemplo, así que no estoy seguro de si este es el tipo de ejemplo que usted tenía en mente.

Answer 2

Tal vez para amplificar en los aspectos estructurales de la respuesta dada por Reid Barton:

de hecho, el uso de Dugger del teorema de la noción de Bousfield localización de combinatoria categorías de modelo , precisamente, los modelos de la noción de localización de (oo,1)-categoría (de (oo,1)-presheaves), que no es sino la noción de reflexión (o,1)-subcategoría.

Esto es útil, porque da un poco ad hoc definición de Bousfield de la localización el más conceptual de la interpretación como un modelo para una contigüidad

$ \mathbf{C} \stackrel{\stackrel{lex}{\leftarrow}}{\hookrightarrow} \mathbf{D}$

de (oo,1)-categorías. Desde esta perspectiva, es muy posible que, dadas dos reflectantes incrustaciones $\mathbf{C}_1, \mathbf{C_2} \hookrightarrow \mathbf{D}$ no hay ninguna razón por la que las unidades de la correspondiente adjunctions -- que son la localización de morfismos, han de satisfacer cualquier relación el uno con el otro, en general.