Exponencial De Ecuaciones Simultáneas

Question

Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:

$$2^x + 2^y = 10$$

$$x + y = 4$$

Mira, es obvio que las respuestas se $(3,1)$$(1,3)$, sin embargo, me preguntaba si podrían resolverse algebraicamente. Este es mi enfoque:

$$2^x + 2^{4-x} = 10$$

$$2^x + \frac{(2^4)}{(2^x)} = 10$$

$$2^x + \frac {16}{2^x} = 10$$

Y aquí es donde me quedo atascado. Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

El siguiente paso es

$$\left(2^x\right)^2-10\cdot2^x+16=0$$ wich is a quadratic equation in $2^x$.

A continuación, $2^x=5\pm3$ y $$x=1\text{ or }x=3.$$

Answer 2

Set $z=2^x$ obtener $z^2-10z+16=0$ y resolver la ecuación cuadrática

Answer 3

Alternativamente,

$$2^x+2^y=10\\2^x\cdot2^y=16.$$

Usted sabe que la suma y el producto, así que por $\left(2^x-2^y\right)^2=\left(2^x+2^y\right)^2-4\cdot 2^x\cdot 2^y$, se obtiene

$$2^x,2^y=2,8.$$

Answer 4

Observe que:

\begin{align*} 2^x+\frac{16}{2^x}={}&10 \\ (2^x)^2+16={}&10\cdot 2^x \\ (2^x)^2-10\cdot 2^x+16={}&0 \\ (2^x)^2-8\cdot 2^x-2\cdot 2^x+16={}&0 \end{align*}

Por factorización tenemos

\begin{align*} &\phantom{2^x-8}(2^x-8)(2^x-2)=0 \iff{} \\ &{}\iff 2^x-8=0\vee2^x-2=0 \iff{} \\ &{}\iff 2^x=8\vee2^x=2\iff {} \\ &{}\iff2^x=2^3\vee2^x=2^1\iff{} \\ &{}\iff x=3\vee x=1. \end{align*} Por lo tanto, obtenemos que las soluciones son: $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{x=1,\ 3}}$$