Estructuras logarítmicas en módulos de curvas elípticas sobre Z

Question

He oído decir que si tomas los módulos de las curvas elípticas con alguna estructura de nivel impuesta (como un esquema de módulos sobre Spec(Z)), hay una estructura logarítmica que puedes imponer en las cúspides para que los mapas de proyección natural obtenidos olvidando la estructura de nivel sean log-etales (al menos lejos de los primos que dividen el orden de tu estructura de nivel).

Puedo tener alguna intuición aproximada sobre cómo ocurre esto sobre un campo de característica cero, pero no de forma integral. ¿Puede alguien explicar esto o darme una referencia de esta estructura?

Además, ¿alguien ha calculado el anillo integral apropiado de formas modulares con estructura logarítmica en algunos casos, similar al cálculo de Deligne-Tate de formas modulares sobre Z?

Answer 1

Creo que el teorema de la pureza del logaritmo de Kato te da esto. Véase, por ejemplo, el teorema B en "Extending Families of Curves over Log Regular Schemes" de Mochizuki. Creo que todo lo que necesitas es que las cúspides formen un divisor normal de cruces en X(1) [si te preocupa que X(1) sea una pila en lugar de un esquema, puedes empezar con un poco de estructura de nivel extra coprima a los primos que te interesan] y entonces tu mapa Y(N) -> Y(1) está dócilmente ramificado, lo que te dice que la normalización X(N) de X(1) en Y(N) lleva una estructura logarítmica canónica en la que el mapa X(N) -> X(1) es logarítmico.

Answer 2

Si trabajas lejos de los primos que dividen el nivel, tus curvas tienen una reducción semi-estable, y tienen estructuras log-smooth canónicas. Para cualquier par (X,D), donde X es suave y D es un divisor con cruces normales, existe una estructura logarítmica dada por el conjunto de funciones en O _x que son invertibles lejos de D. En tu caso, creo que tomas X como la curva universal, y D como el divisor en el infinito. Olvidando una estructura de niveles coprima se obtiene un mapa con complejo log-cotangente evanescente.

Referencias (pueden no tener su declaración precisa):

• F. Kato. Teoría de la deformación suave del logaritmo
• M. Olsson "Estructuras logarítmicas universales en variedades semiestables"

Olsson tiene otros documentos que pueden ser útiles. Los retira de su página web cuando se publican, pero a veces se pueden encontrar con Google Scholar.

Editar: No he visto ningún trabajo sobre los anillos logarítmicos-canónicos de las curvas modulares, pero realmente no trabajo en esa área. Deberías permitir polos de orden n/2 para formas de peso n, así que para el nivel 1, tienes cosas extra como E ₁₄ /Delta.