Principal problema de la descomposición

Question

Deje $T$ ser un operador lineal sobre un espacio de dimensión finita $V$, y deje $p=p_{1}^{r_{1}} \cdots p_{k}^{r_{k}}$ ser el polinomio mínimo de a $T$, y deje $V= W_{1} \oplus\cdots\oplus W_{k}$ ser el principal de la descomposición de $T$, es decir, $W_{j}$ es el espacio nulo de a $p_{j}(T)^{r_{j}}$. Deje $W$ ser cualquier subespacio de $V$ que es invariante bajo $T$. Demostrar que $W= (W \cap W_{1})\oplus (W \cap W_{2})\oplus \cdots \oplus (W \cap W_{k})$.

Answer 1

Para responder a la nueva pregunta en el OP (completando así EuYu la respuesta) : Observe primero que el nullspace $W_i={\sf Ker}(p_i(T)^{r_i})$ también puede ser escrita como una imagen espacio de $W_i={\sf Im}(q_i(T))$ donde $q_i=\prod_{j\neq i}p_j(T)^{r_j}$.

De hecho, la inclusión de ${\sf Im}(q_i(T)) \subseteq W_i$ sigue a partir de la Cayley-Hamilton teorema. Por el contrario, vamos a $w\in W_i$. El polinomio $p_i^{r_i}$ es coprime a $q_i$. Entonces tenemos una identidad de Bezout

$$(p_i^{r_i})A_i+q_iB_i=1 \etiqueta{1}$$

para algunos polinomios $A_i,B_i$. De ello se desprende que $w=q_i(T)(B_i(T)w)$, mostrando $w\in {\sf Im}(q_i(T))$. De hecho, este mismo argumento muestra que $E_iw=q_i(T)(B_i(T)w)$ cualquier $w\in V$ a todos (no sólo de $w\in W_i$), por lo que $E_i=q_i(T)B_i(T)$ es un "polinomio" en $T$. Por lo que cualquier $T$-subespacio invariante automáticamente se $E_i$-invariante.

Answer 2

Deje $E_1,\ \cdots,\ E_k$ ser las proyecciones asociados con la descomposición. Deje $\mathbf{w}\in W$ tiene la única representación en términos de la suma directa como $$\mathbf{w} = \mathbf{w}_1 + \cdots + \mathbf{w}_k$$ Queremos mostrar que $\mathbf{w}_i \in W$. Sin pérdida de generalidad podemos trabajar con $\mathbf{w}_1$. Entonces $$E_1\mathbf{w} = E_1(\mathbf{w}_1 + \cdots + \mathbf{w}_k) = E_1\mathbf{w}_1 = \mathbf{w}_1$$ Desde $W$ $T$- invariante, se deduce que el $W$ $E_1$- invariante. Por lo tanto,$\mathbf{w}_1 = E_1\mathbf{w}\in W$.

Ahora, para cada una de las $i$, se deduce que el $\mathbf{w}_i \in W$ y por supuesto, también tenemos $\mathbf{w}_i\in W_i$. Por lo tanto,$\mathbf{w}_i\in W\cap W_i$. Entonces tenemos $$W\subseteq (W\cap W_1)\oplus \cdots \oplus (W\cap W_k)$$ Por otro lado, también tenemos $$(W\cap W_1)\oplus \cdots \oplus (W\cap W_k)\subseteq W$$ Esto es trivialmente cierto por el cierre de la adición. Por lo tanto $$W = (W\cap W_1)\oplus \cdots \oplus (W\cap W_k)$$