Rompecabezas o ejercicios cortos que ilustran problemas matemáticos a los estudiantes de primer año

Question

En la escuela secundaria, el método de solución para casi todos los ejercicios de matemáticas es la aplicación de alguna técnica o algoritmo que se ha aprendido antes. En la universidad, la situación es diferente. Muchos de los ejercicios que tienen el sabor del poco a problemas de investigación, donde no es obvio en absoluto cómo empezar. Esta nueva experiencia puede ser frustrante, incluso a los estudiantes más talentosos.

Estoy buscando puzzles o pequeños ejercicios para ilustrar "la resolución de problemas matemáticos" para estudiantes de primer año. Idealmente, una declaración del problema cumple con los siguientes requisitos:

• Fácil de entender. Las nociones deben ser familiares de la escuela secundaria de las matemáticas o de la vida diaria, y no basarse en un marco de definiciones abstractas. Apto problemas a menudo provienen de la combinatoria, geometría elemental o primaria de la teoría de números. Algunos abstracción es aceptar, ya que este es otro punto estudiantes de primer año tienen que acostumbrarse.

• Emocionante o fascinante de alguna manera. No seque la teoría de preguntas.

• La pregunta debería ser adecuado para obtener en sus manos y "hacer estudios" con ella (si es necesario, dándoles consejos). Por ejemplo, buscando en casos especiales, la investigación de las consecuencias de la modificación de los requisitos, etc.

• La solución debe no ser obvias y requieren alguna idea inteligente. Además, debería ser posible dar una solución rigurosa y la prueba, sin la participación de cálculos largos, y como la pregunta, sólo confiando en los métodos que son bien conocidos para un estudiante de primer año.

Voy a dar algunos ejemplos de buenas problemas (en mi opinión) como respuestas a continuación.

Por favor, dar sólo una declaración del problema por respuesta.

Answer 1

5 puntos se colocan en una esfera. Mostrar que hay un (cerrado) hemisferio que contiene, al menos, 4 puntos.

Usted puede dar un toque de "Si nos cegamos tomar cualquier corte de la esfera, por el principio del palomar, uno de estos hemisferios debe contener al menos 3 puntos."

Respuesta: Tomar de cualquiera de los 2 puntos, y considerar su gran círculo, que los formularios 2 hemisferios. Por el principio del Palomar, de los restantes 3 puntos, al menos uno de ellos debe tener 2 puntos. Por lo tanto hemos terminado.

Answer 2

Hay una delgada capa horizontal de la barandilla, digamos de 10 pies de largo, que corre de Norte a Sur. En el tiempo $t=0$ cien hormigas caer sobre la barandilla, en lugares al azar y cada inicialmente se enfrenta al azar, ya sea del Norte o del Sur. En el momento de hacer contacto con la barandilla de todas las hormigas comienzan una marcha hacia adelante a la velocidad de 10 pies por minuto. La barandilla es delgada, de modo que cada vez que dos hormigas knock astas, ambos inmediatamente de vuelta sobre sus talones y se comienzan a ir en la dirección opuesta. Cada vez que una hormiga llega a la final de la barandilla, que flota suavemente en el suelo y se queda allí.

¿Cuánto tiempo tomará para que la barandilla para ser claros de hormigas en el peor de los casos? Suponga que las hormigas son pointlike y la necesidad de tiempo cero a la vez.

Ningún indicio aquí. Un spoiler sólo:

Lo que iba a cambiar, globalmente hablando, si las hormigas sería capaz de caminar a través de cada uno de los otros?

Si la luz de la bombilla parpadea rápidamente, uno puede probar con dos, tres, cuatro hormigas... a Menudo un buen método para tratar un caso más sencillo en primer lugar.

Answer 3

El armario de rompecabezas:

En un pasillo hay 100 cerrados los armarios. Ahora 100 personas pasar el pasillo. El primero cambia el estado (abierto o cerrado) de cada armario. El segundo cambia el estado de cada segundo casillero, la tercera persona de cada tercer casillero y así sucesivamente.

Cual taquillas estarán abiertas en el final?

(Respuesta: Los casilleros cuya posición es un cuadrado perfecto.)

Uno puede investigar este problema por hacerlo explícitamente de números como 10 o 20. Si algunos se han encontrado resultados, la respuesta correcta puede ser conjeturado. El último paso es, entonces, rigurosamente demostrar la conjetura.

Answer 4

"Sam Loyd" 14-15 Rompecabezas

Puede las fichas en el siguiente arreglo de ser puesto en orden con sólo deslizar alrededor de ellos?

(Respuesta: No. Cada movimiento legal conserva la paridad de la suma de la cantidad de las inversiones y el número de fila que el espacio en blanco que aparece en. Es fácil ver que la posición de paridad impar, y la posición de inicio tiene paridad par.)

La solución podría ser un poco avanzado, pero con algunos consejos creo que es alcanzable. Desde que era una (de corta duración) de moda en la década de 1880, debe ser fascinante y emocionante!

Answer 5

Este es un clásico (En la wikipedia):

Dado un $8 \8$ cuadrícula donde dos en diagonal esquina opuesta plazas son eliminados. Es posible cubrir los 62 restantes plazas por los rectángulos de tamaño $2\times 1$?

(Respuesta: Imaginar los cuadrados de la cuadrícula de colores en negro y blanco como un tablero de ajedrez...)

Aquí, uno puede mirar en tablas más pequeñas primero y modificar el patrón de la quitan plazas (no remueva la plaza; quitar una sola plaza; quitar los dos adyacentes casillas de las esquinas, etc.).