Espacio topológico $\nRightarrow$ Espacio métrico $\nRightarrow$ Espacio normalizado $\nRightarrow$ Espacio del producto interior (Ejemplos)

Question

Si tengo un espacio de producto interno, la jerarquía va:

Espacio del producto interior $\Rightarrow$ espacio normado $\Rightarrow$ espacio métrico $\Rightarrow$ espacio topológico.

Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Actualmente estoy luchando con esta idea. Por lo tanto, ayudaría mucho si pudieras presentar algunos ejemplos como:

1. un espacio vectorial topológico que no es un espacio vectorial métrico
2. un espacio topológico (no vectorial) que no es un espacio métrico (no vectorial)
3. un espacio vectorial métrico que no es un espacio vectorial normado
4. un espacio métrico (no vectorial) que no es un espacio vectorial normado
5. un espacio vectorial normado que no es un espacio de producto interno
6. un espacio normado que no es un espacio vectorial (si es que existe)

Answer 1

1. un espacio vectorial topológico que no es un espacio métrico: tome $V=C(\Bbb{R})$ donde la topología viene dada por la convergencia en conjuntos compactos. Una base para esta topología viene dada por conjuntos de la forma $$U_{K,f,\varepsilon} = \{ g : \sup_K |g-f| < \varepsilon \}$$ donde $f \in V$ es continua, $\varepsilon >0$ es un número real positivo, $K \subset \Bbb{R}$ es un conjunto compacto.

2. un espacio topológico que no es un espacio métrico : tome cualquier conjunto infinito con la topología cofinita.

3. No conozco la definición de "espacio vectorial métrico" (si es que existe).

4. un espacio métrico que no es un espacio vectorial normado: toma la bola $B(0,1)$ en cualquier espacio normado

5. un espacio vectorial normado que no es un espacio de producto interno: tome $L^{\infty}(\Bbb{R})$

6. un espacio normado que no es un espacio vectorial (si es que existe): no existe ya que por definición todo espacio normado es un espacio vectorial con una norma.