Dejemos que $G$ sea un grupo con la siguiente propiedad. Para todos los enteros $n$ sólo hay un número finito de subgrupos de índice $n$ .
Pregunta. Es $G$ ¿Generado finitamente?
Lo contrario es cierto. Es decir, si $G$ está generada finitamente, entonces $G$ sólo tiene un número finito de subgrupos de índice $n$ (para todos los $n$ ). Este es un argumento para los subgrupos normales que también puede funcionar en el caso general.
Para dar un subgrupo normal de índice $n$ de $G$ es dar un grupo finito $H$ de cardinalidad $n$ y un suryecto $G\to H$ . Sólo hay un número finito de grupos de cardinalidad $n$ y para cada grupo finito $H$ sólo hay un número finito de $G\to H$ (porque basta con designar la imagen de cada generador de $G$ en $H$ ). QED