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Es un grupo con sólo un número finito de subgrupos de índice n (para todo n) finitamente generados

Dejemos que $G$ sea un grupo con la siguiente propiedad. Para todos los enteros $n$ sólo hay un número finito de subgrupos de índice $n$ .

Pregunta. Es $G$ ¿Generado finitamente?

Lo contrario es cierto. Es decir, si $G$ está generada finitamente, entonces $G$ sólo tiene un número finito de subgrupos de índice $n$ (para todos los $n$ ). Este es un argumento para los subgrupos normales que también puede funcionar en el caso general.

Para dar un subgrupo normal de índice $n$ de $G$ es dar un grupo finito $H$ de cardinalidad $n$ y un suryecto $G\to H$ . Sólo hay un número finito de grupos de cardinalidad $n$ y para cada grupo finito $H$ sólo hay un número finito de $G\to H$ (porque basta con designar la imagen de cada generador de $G$ en $H$ ). QED

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Michael Steele Puntos 345

No es cierto porque $\Bbb Q / \Bbb Z$ no está generado finitamente mientras que no tiene ningún subgrupo de índice n para cualquier n.

También se pueden hacer ejemplos que tengan subgrupos de índice finito : dejemos $G = \bigoplus \Bbb Z / p \Bbb Z$ donde $p$ es sobre los números primos.

No está generado finitamente porque cualquier subconjunto finito de $G$ está incluido en una suma directa finita de esos grupos cíclicos, y no está $G$ .

Dejemos que $n \ge 1$ . Desde $G$ es conmutativo, todo subgrupo es normal y por tanto un subgrupo de índice $n$ corresponde a un mapa hacia un grupo (conmutativo) de orden $n$ . Sea $1_p$ sea el generador de $\Bbb Z/ p\Bbb Z$ , tal que el conjunto $\{1_p ; $ p $ \text{ prime}\}$ genera $G$ . Ahora cualquier mapa de este tipo está definido por la imagen de esos generadores. Pero si $H$ es de orden $n$ y $p$ es primo con $n$ no hay ningún elemento de orden $p$ en $H$ y así $1_p$ debe enviarse a $0_H$ . Dado que hay un número finito de primos que no son coprimos con $n$ sólo puede haber un número finito de estos mapas y, por tanto, un número finito de subgrupos de $G$ del índice $n$ .

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kylesethgray Puntos 33

Aquí hay una familia interesante:

Un grupo profinito es un grupo topológico compacto que es el límite inverso de los grupos finitos. Ejemplos de ello son la terminación profinita de un grupo que se define de la siguiente manera: Para un grupo $G$ tomar el límite inverso de los cocientes finitos $G/N$ y llamamos a este grupo la terminación profinita de $G$ que se denota por $\widehat{G}$ . Se puede demostrar que la imagen de $G$ en $\widehat{G}$ es denso.

Se dice que un grupo profinito es finitamente generado si tiene un subgrupo finitamente generado en sentido abstracto que es denso. Los ejemplos son la terminación profinita de los grupos generados finitamente. Los grupos profinitos infinitos no son generados finitamente. Se puede demostrar que todo profinito finitamente generado tiene para cada n sólo un número finito de subgrupos abiertos de índice $n$ . Entonces es un teorema de Nicolov-Segal que todo subgrupo de índice finito de un grupo profinito finitamente generado es abierto. Entonces todo grupo profinito infinitivamente generado es un contraejemplo. Ejemplo: El $p$ -número de radicales $\mathbb{Z}_p$ .

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