Teoría de categorías e integración de Lebesgue.

Question

Me pregunto si hay algo de Teoría de Categorías flotando en la teoría de la Integración de Lebesgue. Para evitar que las cosas se vuelvan demasiado amplias, centrémonos en lo básico. Así es como yo veo la configuración general (me faltan algunos detalles para ser breve).

Definición 1: Una función de $\mathbb{R}^k$ a $\mathbb{R}$ es un función de paso si existe una partición $P$ de $\mathbb{R}^k$ tal que $f$ es constante para cada intervalo (de $\mathbb{R}^k$ ) asociada a $P$ y cero en la región no limitada asociada a $P$ .

Teorema 1: Las funciones escalonadas forman un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $\int$ (definida para las funciones escalonadas) es una transformación lineal de este espacio a $\mathbb{R}$ .

Teorema 2 (Propiedades de la red): Si $f, g$ son funciones escalonadas en $\mathbb{R}^k$ entonces también lo son $\max (f, g)$ , $\min (f, g)$ las partes positivas y negativas de $f$ y $\lvert f\rvert$ .

Definición 2: Una función $f:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ es un función superior si existe una secuencia creciente de funciones escalonadas $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $\int f_n$ converge y $f_n\to f$ a.e. como $n\to\infty$ . El conjunto (o lo que sea) de tales funciones se denota $\mathscr{L}^{\text{inc}}(\mathbb{R}^k)$ . Definimos la integral de una función superior como $$\int f=\lim_{n\to\infty}\underbrace{\int f_n.}_{\text{These are integrals of step functions.}}$$

Teorema 3: Las funciones superiores no forman un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ .

Definición 3: Una función $f:\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}$ es Lebesgue integrable en $\mathbb{R}^k$ si existen funciones superiores $g, h$ en $\mathbb{R}^k$ avec $f=g-h$ . Definimos $\int f=\int g -\int h$ . El conjunto (o lo que sea) de tales funciones se denota $\mathscr{L}^1(\mathbb{R}^k)$ .

Teorema 4: $\mathscr{L}^1(\mathbb{R}^k)$ es un $\mathbb{R}$ -espacio vectorial y $\int$ es un mapa lineal.

Teorema 5: Funciones en $\mathscr{L}^1(\mathbb{R}^k)$ satisfacen las mismas "propiedades reticulares" que en Teorema 2 .

¿Forman categorías las funciones escalonadas, las funciones superiores y las funciones integrables de Lebesgue? ¿Hay alguna forma de describir las "propiedades reticulares" anteriores de las respectivas funciones utilizando la Teoría de Categorías? ¿Cuál es el "significado" de algunas de estas funciones pero no otros formando espacios vectoriales desde un punto de vista categórico (si es que existen)?

Lo siento mucho si esto es demasiado amplio. Es sólo que parece el tipo de cosa que alguien habría investigado. . .

Answer 1

No es exactamente lo que preguntaba, pero me siento obligado a enlazar aquí con mi propia tesis doctoral.

http://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/students/jackson.pdf

Partí del hecho bien conocido de que si $\langle \Omega,\mathcal{F}\rangle$ es un espacio medible, y $j$ es el topología de unión contable en $\mathcal{F}$ entonces:

1. El objeto de las funciones de valor real medibles es el objeto de los números reales de Dedekind $\mathbb{R}$ en $\textrm{Sh}_{j}(\mathcal{F})$ .
2. El conjunto de medidas $\mathbb{M}$ también es una gavilla.
3. La integración (Lebesgue) es definible como una transformación natural $$\textstyle\int\displaystyle:\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{M}\to\mathbb{M}.$$

(3) no era "bien conocido" como tal, pero es obvio cuando se piensa en ello.

El trabajo que hice fue encontrar definiciones para $\mathbb{M}$ y $\int$ utilizando el lenguaje interno de $\textrm{Sh}_{j}(\mathcal{F})$ y proporcionar pruebas categóricas del Teorema de Convergencia Monótona y del Teorema de Radon-Nikodym (alerta de spoiler: existen derivadas con respecto a $\mu$ cuando la topología de $\mu$ -(la equivalencia casi universal induce un topos booleano). Estas definiciones y teoremas pueden aplicarse en cualquier topos con un objeto de números naturales, y no sólo en el entorno tradicional de las gavillas sobre un $\sigma$ -campo.

Answer 2

No entiendo muy bien la pregunta. ¿Das las definiciones estándar de integración de Lebesgue y finalmente preguntas si las funciones medibles de Lebesgue forman una categoría? ¿Quieres decir si son los morfismos de una categoría? En cualquier caso, aquí tienes algo que puede interesarte:

Se puede demostrar que $X=(L^1[0,1],1,\xi)$ es el espacio de Banach puntiforme inicial dotado de un mapa puntiforme $\xi : X \oplus X \to X$ Ver aquí . En realidad podemos construir $L^1[0,1]$ de esta manera utilizando tonterías abstractas. Aplicando esto al espacio de Banach punteado $(\mathbb{R},1,m)$ con la media $m(a,b)=\frac{a+b}{2}$ obtenemos un mapa único de espacios de Banach $\int : L^1[0,1] \to \mathbb{R}$ , $f \mapsto \int f(x) \, dx$ tal que $\int 1 \, dx =1$ y $$2 \cdot \int f(x) \, dx = \int f\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) \, dx + \int f\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr) \, dx.$$ He aprendido esto de un nota por Tom Leinster.