Sumar la potencia principal función de recuento de arriba a la igualdad de algún valor $n$

Question

Quiero encontrar a $c_k$

$n = 1 + c_1 \Pi(n) + c_2 \Pi(\frac{n}{2})+ c_3 \Pi(\frac{n}{3})+ c_4 \Pi(\frac{n}{4})+ c_5 \Pi(\frac{n}{5})+...$,

asumiendo que existen tales coeficientes, donde

$\Pi(n) = \pi(n) + \frac{1}{2}\pi(n^\frac{1}{2})+ \frac{1}{3}\pi(n^\frac{1}{3})+ \frac{1}{4}\pi(n^\frac{1}{4})+...$ $\pi(n)$ es la principal función de conteo.

Existen técnicas conocidas para la solución de un problema como este?

EDITAR - Me estaba preguntando en realidad esta figura fuera de lo difícil de una cuestión que es esto. En menos de anon, no muy dura, parece ser.

En el caso de que usted es curioso, una manera de calcular estos coeficientes es así:

Si $C_k$ son Gregory Coeficientes, los primeros términos de ser $-1, \frac{1}{2}, \frac{1}{12}, \frac{1}{24}, \frac{19}{720}, \frac{3}{160},...$, y tenemos la estricta divisor función tal que

$d_0'(j) = 1$ si $n = 1$, $0$ de lo contrario,

$d_1'(j) = 1$ si $n \neq 1$, $0$ de lo contrario,

$d_k'(n) = \sum\limits_{j | n} d_1'(j) d_{k-1}'(n/j )$

a continuación, $c_k = \sum\limits_{a=0} -1^a C_a d_a'(k)$

Hay una simple razón por la que Gregory coeficientes se muestran, la participación de Linnik la identidad de $\sum\limits_{k=1} \frac{-1^{k+1}}{k} d_k'(n) = \frac{\Lambda(n)}{\log n}$y los inversos multiplicativos de la serie de coeficientes, pero no voy a entrar en eso.

De todos modos, buen trabajo, anon.

Answer 1

Aquí es la implementación de anon's idea:

En el caso de que a usted le gustaría probar el código:

\[CapitalPi][n : (_Integer | _Rational)] := 
 Module[{k = Ceiling[Log2[n]] + 2, rec}, rec = 1/Range[k]; 
  rec.PrimePi[n^rec]]

FindCoefficientsC[len_] := 
 Module[{mat = 
    PadRight[Table[\[CapitalPi][n/m], {n, 2, 2 len + 1}, {m, 1, n}]]},
  LinearSolve[
    PadRight[mat], Range[1, 2 len]][[;; MatrixRank[mat]]]
  ]

Answer 2

Esto es realmente un comentario, pero es un poco demasiado largo.

Aviso que se suma en virtud de una hipérbola. Desde $$\Pi(x)=\sum_{n\leq x}\frac{\Lambda(n)}{\log n}$$ we see that $$\sum_{k\leq x}c_{k}\Pi\left(\frac{x}{k}\right)=\sum_{k\leq x}c_{k}\sum_{n\leq\frac{x}{k}}\frac{\Lambda(n)}{\log n}=\sum_{nk\leq x}c_{k}\frac{\Lambda(n)}{\log n}.$$ Equivalently we are trying to find $f$, some function on the integers, satifying $$\sum_{n\leq M}\left(f*\frac{\Lambda}{\log}\right)(n)=M.$$