En lógica, ¿es 'P = Q,' donde P y Q son proposiciones, mal concebido?

Question

En lógica formal / matemática, ¿cuáles son las reglas que rigen el uso de "identidad" (signo igual)? ¿Por qué se utiliza en su lugar un signo condicional (o en ciertas instancias un signo bicondicional) para mostrar una relación entre proposiciones?

Soy un estudiante de secundaria con un creciente interés en la lógica, así que cualquier idea sobre la filosofía que guía la semántica de los lenguajes lógicos sería apreciada.

Gracias por su tiempo.

Editar: Gracias por sus respuestas. Tengo dos argumentos falaces escritos de manera proposicional: Si P, entonces Q. Si P, entonces R. Por lo tanto: Si Q, entonces R. Y Si P, entonces Q. Si R, entonces Q. Por lo tanto: Si P, entonces R. Sin embargo, si estas proposiciones particulares fueran interpretadas como conectadas no por un signo condicional sino por un signo "=" (identidad), ¿no tendríamos ejemplos de la propiedad transitiva (es decir, P=Q, P=R, por lo tanto Q=R usando la regla de eliminación de identidad en el cálculo de Fitch)? Sin embargo, ni la introducción/eliminación condicional/bicondicional sería capaz de probar esto en Fitch. ¿Es por esto que es una mala idea usar "=" al traducir al lenguaje más primitivo de la lógica proposicional?

Answer 1

No hay nada mal concebido en pensar en lo que comúnmente se escribe como $P \Leftrightarrow Q$ o $P \leftrightarrow Q$ como una ecuación entre las proposiciones denotadas por $P$ y $Q. Sin embargo, es convencional en la lógica matemática no usar el signo igual para esta relación.

Esta convención evita varios tipos de ambigüedad y encaja bien con los conceptos de la lógica de primer orden (donde tenemos un universo de discurso específico en mente, como la aritmética de números naturales, en la cual la igualdad denota la igualdad de números naturales, mientras que la bi-implicación denota la equivalencia de proposiciones sobre los números naturales).

Hay lógicas de orden superior en las que el mundo de las proposiciones forma parte del universo de discurso y entonces la bi-implicación se convierte simplemente en un caso especial de igualdad.

Existe una pregunta separada sobre la notación para la identidad sintáctica entre construcciones lingüísticas. Es decir, la notación a usar cuando pensamos en $1 + 2$ o $A\land B$ como secuencias de símbolos no expresiones que denotan números o valores de verdad. El símbolo $=$ a menudo se usa para la identidad sintáctica, pero este uso puede dar lugar a confusiones: usar $\equiv$ o $:=$ es una forma común de evitar esto.

Answer 2

El signo de igualdad podría usarse entre proposiciones, pero necesitarían ser iguales, es decir, necesitarían ser la misma proposición.

Una razón para usar la bicondicional es que puede vincular proposiciones que no son iguales, pero que tienen el mismo valor de verdad. Por ejemplo, "El inglés tiene 26 letras" y "El hidrógeno tiene un electrón" son ambas verdaderas, pero no son lo mismo. Por lo tanto, no escribiríamos un signo de igualdad entre ellas, pero podríamos escribir una bicondicional entre ellas.

En la lógica proposicional, a menudo nos preocupamos mucho más por si las proposiciones tienen el valor de verdad que por si son iguales, hasta el punto de que a menudo se omite por completo el signo de igualdad.

Answer 3

Si quieres decir que encuentras más sensato usar igualdad en lugar de $\leftrightarrow $ con el mismo propósito, es principalmente una cuestión de conveniencia; ya usamos el símbolo de igualdad para otros propósitos.

Si quieres que la proposición "P = Q" signifique algo como "P y Q son idénticos": en lenguajes lógicos típicos, las fórmulas o proposiciones abarcan lo que sea el dominio del modelo. Por ejemplo, si estamos considerando la lógica de primer orden de la teoría de grafos (es decir, con una relación binaria), una fórmula debería tener un valor de verdad basado en el grafo en el que se interpreta, y en qué vértices se asignan a sus variables libres.

Si permitimos una construcción como "si P, Q son fórmulas, entonces P = Q también es una fórmula", entonces la interpretación de esta oración tendría que depender no de la estructura de un grafo, sino de la información sintáctica de las fórmulas P y Q. Esto simplemente no es lo que queremos que las proposiciones "permitan" expresar.

Answer 4

La lógica de primer orden ya utiliza = para la identidad en el dominio en discusión (conjuntos, enteros o lo que sea). Entonces, aunque teóricamente podríamos usar = para la identidad en los valores de verdad, es más claro tener un símbolo diferente $\leftrightarrow$.

Además, la notación $P \leftrightarrow Q$ tiene la ventaja de sugerir $P \rightarrow Q$ y $Q \rightarrow P$.

Answer 5

Al parecer, la primera persona en utilizar el signo '=' fue Robert Recorde en 1557. En su traducción, Recorde dice: "Y para evitar la tediosa repetición de estas palabras: es igual a: colocaré un par de líneas paralelas de esta manera: =, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales".

Entonces uno podría preguntarse, si escribieras un signo igual entre proposiciones lógicamente diferentes pero equivalentes en función de la verdad, ¿calificarían como dos cosas que no pueden ser más iguales? Después de estudiar las consecuencias de las formas de ciertas proposiciones, descubrí que las consecuencias de esas formas pueden ser muy diferentes incluso cuando esas formas califican como tener el mismo valor de verdad. Por lo tanto, no creo que sea correcto escribir '=' entre proposiciones.

Una respuesta clara: P y Q no son proposiciones, a menos que se especifique y muchas veces no se especifican. Sirven como variables para proposiciones. Escribir p = q o equivalente a = b o equivalente c = f literalmente significaría que las variables son iguales.

No hay ningún caso en el que P y Q califiquen como proposiciones. Simplemente no califica como coherente o permite una redacción que podría requerir revisión para mayor claridad. P y Q pueden representar proposiciones, pero eso es todo. Considerar P y Q como proposiciones conduce a una situación contrafáctica.