La característica de un dominio integral debe ser $0$ o un número primo.

Question

Propuesta: La característica de un dominio integral debe ser $0$ o número primo.

Me confunde esta propuesta.

Creo que la característica de un dominio integral debe ser siempre $0$ . Supongamos que tiene la característica $n$ . Entonces $n * a = 0$ para todo a del dominio integral.

ya que n no es $0$ y, si $c * d = 0$ en el dominio integral, significa $c=0$ o $d=0$ , a debe ser $0$ . Por lo tanto, $n * a$ no es $0$ cuando $a$ es distinto de cero. Por lo tanto, la característica debe ser siempre $0$ .

¿Qué hay de malo en mi pensamiento?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Siempre que tenga problemas para entender tal abstracto declaración que debe mirar hormigón instancias. Por ejemplo $\,\rm \Bbb Z\ mod\ 3\ $ tiene la característica $3$ porque $ 3n := n + n + n \equiv 0\ $ pour $ n\equiv 0,1,2.\:$ Vea cómo se rompe su argumento en este caso concreto y sencillo, y luego generalice.

Tenga en cuenta que $\,m\cdot a\,$ hace no denotan un elemento obtenido al aplicar la multiplicación del anillo a dos elementos del mismo. En cambio, el $m$ 'th múltiple $\,m\cdot a\,$ es el análogo aditivo del $m$ El poder $a^m.$ En el primer caso añadimos $m$ copias de $a$ para obtener $\,m\cdot a\,$ y el segundo lo multiplicamos para obtener $\,a^m.\,$ Ambas son operaciones bien definidas en cualquier anillo.

Se pueden definir rigurosamente estas operaciones mediante recursividad , a saber.

$$\begin{eqnarray} 0\cdot a \,&=&\, 0 \\ (1+n)\cdot a\,&=&\, a + n\cdot a\end{eqnarray}$$

Answer 2

Tienes razón - $m$ no es un elemento del dominio integral D. $m$ es un número natural.

Pero entonces, por supuesto, una pregunta justa a considerar es cómo $m \cdot a$ se define. En algún lugar de su texto debería definir $m \cdot a$ en el que $m$ es un número natural y $a$ es un elemento de un dominio integral D como $a$ se añade a sí mismo $m$ tiempos.

Considere el dominio integral $\mathbb{Z}_5$ con adición y multiplicación en módulo $5$ . $\mathbb{Z}_5$ es de característica finita porque cada elemento puede sumarse a sí mismo un número de veces (módulo $5$ ) para alcanzar $0$ .

• $0 \equiv 0$ (mod $5$ )
• $1+1+1+1+1 = 5 \equiv 0$ (mod $5$ )
• $2+2+2+2+2 = 10 \equiv 0$ (mod $5$ )
• $3+3+3+3+3 = 15 \equiv 0$ (mod $5$ )
• $4+4+4+4+4 = 20 \equiv 0$ (mod $5$ )

Answer 3

En un anillo $R$ definimos $p*x= {(1_R+1_R+1_R+\cdots+1_R)}x= \sum\limits_{i=1}^p x $ Así que incluso si $p= 1_R+1_R+1_R+\cdots+1_R=0 $ como elemento del anillo, no es necesariamente $0$ en $\Bbb Z$ .

$ \mathbb F_p$ (los números enteros módulo $p$ un primo, ver aquí ) es un dominio integral con la característica $p$ . Si $R$ era un anillo con la característica $mn$ entonces $m \ne 0$ y $ n \ne 0$ pero $mn$ =0, por lo que $R$ no puede ser un dominio integral.

Nota en $\Bbb F_p$ la clase de equivalencia de un número entero $n \equiv 0 \mod p$ si y sólo si $n=pm$ para algunos $m \in \Bbb Z$ Ahora bien, si $xy \equiv 0 \mod p $ entonces $p|xy$ . Por la primalidad de $p$ entonces $p|x$ o $ p|y$ . Así que, o bien $x$ o $y \equiv 0 \mod p$ .

Answer 4

El número entero no es un elemento de $D$ . Tiene el canónico $\mathbb{Z}$ -acción ( $0_\mathbb{Z}a = 0_D$ y $(k+1)a = ka + a$ ) en el grupo abeliano $(D,+)$ y para ello $\mathbb{Z}$ -acción, tienes $ma = 0$ para todos $a \in D$ .