Cómo integrar la $\frac{1}{2^{(\ln x)}}$?

Question

Cómo integrar

$$\frac{1}{2^{(\ln x)}}$$?

He intentado utilizar la sustitución de $u=\ln x$, pero $du=\frac{dx}{x}$ no está en la ecuación original.

Answer 1

No hay sustitución necesario. Observe que $2^{\ln(x)} = x^{\ln(2)}$. Por lo tanto, $$ \int \dfrac{1}{2^{\ln(x)}} \,\mathrm{d}x = \int x^{-\ln(2)} \,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{1-\ln(2)}}{1-\ln(2)} + c $$ para un $c \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Se puede observar que, por el cambio de variable $x=e^u$, $dx=e^u\:du$, $\ln x=u$, $$ \int\frac1{2^{\ln x}}\:dx=\int\frac1{2^{u}}\:e^u\:du=\int e^{(1-\ln 2)u}\:du $ $ , que es más fácil de evaluar.

Answer 3

Aquí es un enfoque diferente con algunos logaritmo reglas de $$\int\frac{1}{2^{\ln x}}dx=\int\frac{1}{2^{\log_2 x/\log_2e}}dx=\int\frac{1}{(2^{\log_2 x})^{1/\log_2 e}}dx=\int \frac{1}{x^{1/\log_2 e}}dx=\frac{x^{1-1/\log_2 e}}{1-1/\log_2 e}=\frac{x^{1-\ln(2)}}{1-\ln(2)}$$