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Real valorados polinomio tiene coeficientes reales

Si un polinomio tiene salidas reales para todas las entradas reales, debe tener todos los coeficientes reales. Usted puede ver esto usando la fórmula de Taylor, y el hecho de que todos los derivados también debe tener salidas reales para entradas reales.

Es allí una manera más inmediata prueba de ello, que no use el cálculo?

21voto

Lissome Puntos 31

Vamos P(x)=anxn+...+a1x+a0Q(x)=¯anxn+....+¯a1x+¯a0

Ahora, para x real de obtener P(x)=¯P(x)=Q(x)

Por lo tanto, PQ es un polinomio que tiene infinitamente mayo de raíces (todos los números reales son las raíces).

P. S. La solución puede ser escrito alternatelly en esta forma: si se dividen los coeficientes en la real y la parte imaginaria, su polinomio se convierte en R1(x)+iR2(x) para algunos reales de polinomios R1,2. Luego de su condición significa R2 tiene una infinidad de raíces.

Es la misma solución...

7voto

Steven Lu Puntos 866

Vamos a ser P un contraejemplo de un mínimo de (>0) grado. a0=P(0)R por hipótesis. A continuación, Q(x)=(P(x)a0)/x es real,xR, lo Q tiene coeficientes reales. Pero, a continuación, P(x)=xQ(x)+a0 tiene coeficientes reales.

4voto

dxiv Puntos 1639

A continuación, es un boceto de una alternativa a prueba mediante el uso de potentes inducción sobre el grado del polinomio.

Un 0th grado del polinomio es una constante, de modo que la constante debe ser real para que el polinomio para tomar los valores reales de a R.

Supongamos que la instrucción es cierto para polinomios de grado n donde n0 y deje P(x) ser un polinomio de grado n+1. Entonces es fácil probar que Q(x)=P(x+1)P(x) es un polinomio de grado n a que los valores reales de a xR. Por la hipótesis de la inducción de paso, todos los coeficientes de Q(x) debe ser real. Pero los coeficientes de Q(x) son combinaciones lineales con números enteros factores de los coeficientes de P(x) para potencias n, por lo tanto estos deben ser reales así. A continuación, el coeficiente de xn+1 también debe ser real ya que todos los demás son, en el que se concluye el paso de inducción.

4voto

lhf Puntos 83572

Newton interpolación fórmulaes f(n) = d_0 \binom{n}{0} + d_1 \binom{n}{1} + d_2 \binom{n}{2} + d_3 \binom{n}{3} +\cdots donde d_i son los números en la primera columna de la repetida diferencias matriz.

Por lo tanto, un polinomio que toma valores reales en los enteros es una verdadera combinación lineal de la binomial polinomios y así tiene coeficientes reales.

2voto

Chris Ballance Puntos 17329

Aquí hay dos no-tan-enfoques originales que son los disfraces de algunas de las ideas en las otras respuestas. Deje que el polinomio ser p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}.

  1. (Este cálculo, sin embargo.) Deje D=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n). Tenemos \begin{align*} &\left(\int_0^1p(x)dx,\int_0^2p(x)dx,\ldots,\int_0^np(x)dx\right)\\ &=\left(a_0,a_1,\ldots,a_n\right)D^{-1} \pmatrix{ 1&1&\cdots&1\\ 1&2&\cdots&n\\ 1&2^2&\cdots&n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&2^{n-1}&\cdots&n^{n-1} }D. \end{align*} Dado que el vector de las integrales es real y tanto D y el Vandermode de la matriz son reales invertible, cada una de las a_i debe ser real.

  2. (En el espíritu de N. S. o lhf respuestas.) Pick n distintos puntos de la recta real y la construcción de la interpolación de Lagrange polinomio L p estos n puntos. Como un título-(n-1) polinomio está determinada únicamente por sus valores en n distintos puntos, obtenemos p=L, que tiene coeficientes reales.

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