Un ingenuo indagación de la incompletitud de Gödel-o ¿por qué las matemáticas necesitan pruebas de unprovability?

Question

Mi pregunta surge de la lectura de Swetz, 1994 (en su mayoría fragmentos del diario de la Profesora de Matemáticas) y Berlinski, 2005 (un libro popular sobre 10 la mayoría de los matemáticos importantes avances en la historia).

1) estoy teniendo dificultades para entender por qué el teorema de Gödel (si he entendido lo que he leído) requiere que ambas fórmulas demostrables y no demostrable. Mi ingenuo concepto de la matemática es un sistema que contiene sólo "positivo" teoremas y leyes y me imagino que de la misma para la ciencia. Que el método científico se entiende nada mal contrastada, así como a no llevar a errores como equipaje junto con sus leyes. Donde el fracaso, los errores, problemas y están separados como estudio histórico o desafío. ¿Por qué no demostrable instrucciones deben ser admitidos a un adecuado sistema?

En previsión de mi iluminación, tengo un par de seguimiento,Qs,

2) mi comprensión de Hilbert proyecto destinado a tomar el punto de vista de que las matemáticas y el formalismo necesario para tomar un meta-punto de vista con el propósito de separar las fórmulas (como símbolos) a partir de la discusión (en lenguaje natural) acerca de las matemáticas. Si estos no demostrable fórmulas son necesarios para probar otros comprobable pruebas, entonces ¿por qué no separar a otro meta-nivel?

3) Lo que deduzco acerca de Gödel argumento de estas fuentes se incluye un punto sobre matemáticas, el uso de símbolos para representar los números, variables de las fórmulas, variables de conjuntos y conjuntos de conjuntos, etc.). Entonces es su argumento para sugerir que, cuando una prueba puede ser admitido en el sistema que no puede ser probado o refutado, la sustitución de las variables de propagar este error?

Las respuestas no tienen que ser técnicos, sólo suficiente para ordenar mi "Gödel de equipaje".

Chris

PS. He encontrado este mes de enero post muy útil para sus referencias y esperamos encontrar un volumen de mi ingenuo apetito para la historia del formalismo:la Comprensión Teorema de la Incompletitud de Gödel---

Answer 1

Es importante ver los teoremas en el contexto de Hilbert intento de formalizar las matemáticas. Formalización aquí significa reducir toda la Matemática-convertir el arte en algo tan simple, en principio, como la manipulación de cadenas de caracteres, de acuerdo a algunas reglas fijas. En Hilbert veces no hay equipos, pero estoy seguro de que él tenía en mente un objetivo que puede ser enunciada como "permiten a los equipos para hacer matemáticas sin pensar".

Esta formalización tiene dos puntos fuertes. Uno es obvio - usted puede encontrar teoremas por dejar que el equipo se ejecute, en una forma ordenada difiere mucho del actual-día de la adivinación y la búsqueda en la oscuridad de juego. La segunda, no menos importante de Hilbert - si usted puede demostrar a todos que las matemáticas pueden ser derivados de extremadamente simple, "obviamente cierto" reglas", entonces nuestra fe en la exactitud de las matemáticas va a ser alta. Recuerde, esto fue alrededor de la época de la "gran crisis en los fundamentos de las matemáticas", planteada por Russel paradoja (que sólo requiere la muy plausible la hipótesis de que se pueden definir conjuntos libremente matemáticos mediante predicados) y otras paradojas.

Así Hilbert estaba mirando para un simple sistema axiomático de que todas las matemáticas se podrían derivar. Pero, ¿qué es "todo" de la matemática? No es sólo lo que puede ser probado en algún tipo de sistema, pero todo lo que es cierto acerca de los objetos que nos interesan. Uno de estos objetos son los números naturales. Ahora considere la posibilidad de Goldbach de la conjetura - que todo número par mayor que 4 puede ser escrito como la suma de dos impares, números primos. Este es sin duda verdadero o falso (o es...? Pero adoptamos el punto de vista que considera que esta). La única pregunta que queda es - puede Hilbert maravilloso sistema de demostrar que no se utiliza ningún pensamiento en absoluto, sólo la manipulación de los símbolos? Si no puede probar ni refutar, seguramente no cubre "todas" las matemáticas.

Lo que Gödel demostró que es exactamente eso - que no importa qué sistema a prueba de Hilbert va a dar, va a tener algunas de flujo: o Bien no ser coherente (se puede probar y refutar la misma cosa, y de lo general de la siguiente manera usted puede probar de todo), o no ser completa (habrá algunos dicen que usted no será capaz de probar o refutar), o no será eficaz (en el sentido de que usted no será capaz de comprobar si una prueba es legal o no - no habrá mecánicas simples reglas para hacerlo) o no hablar de la nautral números (con las operaciones de la suma y la multiplicación; la aritmética de Presburger elude los teoremas de Gödel, ya que deja la operación de multiplicación fuera de juego).

Lo que hace de Gödel prueba más interesante es que utiliza las fortalezas del sistema en contra de ella. Por otro lado, el sistema puede hablar de números naturales, y podemos codificar muy intrincado reclamaciones usando los números naturales; por otro lado, los sistemas de reglas son muy simples, por lo que puede ser codificado a sí mismos con números naturales; y, por tanto, el sistema puede indirectamente probar cosas acerca de sí mismo, y esto conduce a una especie de "explosión". Esta es una muy poderosa idea, que también ha dado nacimiento a la teoría de la Computabilidad.

Answer 2

Como las ofertas de Berlinski sugieren, el corazón de Gödel declaraciones es sin duda no en el unprovability en sí, sino en el hecho de que el sistema es capaz de "hablar de sí mismo', es decir, que las declaraciones acerca de provability se puede lanzar como estrictamente aritmética de las preguntas. Podría ser de ayuda para familiarizarse con otro undecidability resultado que va a través de aproximadamente la misma ruta: Matiyasevich del Teorema acerca de la solvencia de diophantine ecuaciones (es decir, la pregunta: "¿este polinomio en $x$, $y$, $z$, $w$, etc. jamás evaluar a cero en algunos valores enteros de $x$, $y$, $\ldots$?'). La raíz de la prueba está en que muestra que diophantine ecuaciones son expresiva suficiente para representar todos los recursivamente enumerable de conjuntos; lo que Gödel no es esencialmente el mismo, mostrando que la Aritmética de Peano (o cualquier sistema similar) es expresiva suficiente que las preguntas sobre 'provability' puede ser el reparto de la aritmética preguntas.

En cuanto a por qué no demostrable declaraciones necesidad de admisión, el punto no es simplemente que están improbable pero que están improbable y verdadero - es decir, que el conjunto de "cosas que podemos probar" siempre será un subconjunto de 'cosas que son verdad'. Obviamente esto no es una terrible descubrimiento; las matemáticas no dejan de Gödel! Pero podría decirse que es un profundo y que tiene importantes implicaciones prácticas: por ejemplo, como se señaló anteriormente no puede ser un algoritmo para la resolución de diophantine ecuaciones; no puede ser de algoritmos para la búsqueda de un "mínimo prohibido menores" a la categorización de los muchos conjuntos de gráficos; no puede haber algoritmos para resolver el Problema de palabras para grupos, etc, etc.

Answer 3

Cuando la gente de conjunto acerca de la formalización de las Matemáticas, que hizo de esta manera:

1. Lista de los símbolos que se pueden utilizar para hacer que los enunciados matemáticos,

2. Dar algunas reglas para distinguir entre "bien formado fórmulas" (como $3+4=6$) de otras cadenas de símbolos (como $3\div\gt4=$),

3. Lista de los axiomas (una lista limitada),

4. Lista de las "reglas de inferencia" (los métodos que se pueden utilizar para llegar de un bien formado fórmula a otra).

Los teoremas son, a continuación, el bien formado fórmulas que se pueden obtener, a partir de los axiomas y utilizando las reglas de inferencia; son las cosas que usted puede probar.

La ingenua esperanza de que, para cada bien formado fórmula $P$, no sería una prueba de $P$ o una prueba de la negación de la $P$ (pero no ambos).

Lo que Gödel demostró fue que si su axiomas y reglas de inferencia son lo suficientemente fuertes para hacer aritmética ordinaria, a continuación, la ingenua esperanza no se dio cuenta. Ya sea que el sistema es incompatible (lo que significa que usted puede probar cada una de las declaraciones, incluyendo la negación de las declaraciones que usted puede probar), o es incompleta (es decir, no están bien formados fórmulas de $P$ de manera tal que no se puede probar $P$ y no se puede probar la negación de la $P$).

Yo no entiendo lo que quieres decir por "admitiendo improbable declaraciones a un adecuado sistema." No aceptamos como teoremas; tomamos nota de que ni ellos ni sus negaciones son teoremas. ¿Qué sería de nosotros hacer con improbable declaraciones?

Answer 4

No estoy seguro de cómo responder al desafío de encontrar un lugar para no demostrable teoremas otras declaraciones que mi ingenua idea de que debe ser relegado a un tercer meta-nivel (siendo el primero el de la no-natural "de la prueba de lenguaje" de las matemáticas, en segundo lugar, comprobable coherente y completa, y la tercera comprobable coherente, completa, o ni comprobable o no demostrable). :)

Para continuar con mi respuesta solo puedo pensar en responder a mi propia pregunta. En primer lugar, deshacerse de cualquier analogías entre la lógica matemática y las ciencias experimentales. Desde el 'yo sé' que sólo se ofrecen a establecer el marco de la pregunta, /deseo/ continuar sólo con respecto a las matemáticas y la historia de las matemáticas.

De vuelta a el teorema de Gödel, el impacto de la incompletitud es hacer evidente que existen dentro de la infinita lista de funciones que pueden ser formados a partir de un conjunto finito de axiomas, teoremas, /y declaraciones/ que no son demostrables o no demostrable, y que las matemáticas se acepta como verdadera donde se producen resultados útiles.

Sólo, cómo Gödel hizo producido este argumento es todavía imprecisa. Por un lado sé que su argumento está dirigido a los Principia. Por otro lado, a partir de mi lectura me percibir el /incompleto/ teorema como una arbitraria de la prueba de una paradoja de finitary razonamiento-donde un sistema finito puede ser demostrado para producir la paradoja de undecidability de la lógica de la recursividad (es esto correcto?). Si esto último es cierto, entonces la cuestión de si las matemáticas o no sufrir admitir teoremas declaraciones comprobable/improbable es irrelevante.

Sólo para continuar en la buena fe, mi diálogo aquí es acerca de mi observación Hilbert proyecto destinado a completar el teórico-filosófica iniciada por los matemáticos del siglo anterior, la oms publicó matemáticas de los matemáticos derivados de la verdad sólo a partir de la natural (3-espacio) universo. Si el éxito que los matemáticos han cumplido con la promesa de la axiomática de las matemáticas (de nuevo, es esto correcto?).

Hilbert habría un solo tiro conectado abstracto e intuitivo matemáticas con métodos rigurosos de tal manera que una axiomatized teoría matemática en un área puede con mayor facilidad estar relacionada por la lógica, y esto es importante, a otra área, por cable si se quiere. En su lugar, algún otro mecanismo debe por ahora es suficiente. Sólo puedo adivinar estadísticas o modelo compartido.