Pregunta :
Deje $p$ ser un número primo que divide al orden de lo finito grupo $G$. Vamos $X$ = $\bigcup_{P \in Syl_p(G)}P$. Mostrar que $|X|$ es divisible por $p$.
Respuesta
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Lema Deje $G$ ser un grupo finito y $p$ ser un primer divding $|G|$. Deje $H$ $p$- subgrupo de $G$$P \in Syl_p(G)$. A continuación,$H \cap C_G(P)=H\cap Z(P)$.
La prueba es evidente que $H \cap Z(P) \subseteq C_H(P)=H \cap C_G(P)$. Por el contrario, se observa que la $C_H(P)$ $p$- subgrupo (es un subgrupo de $H$!) y se normaliza (incluso centraliza) $P$. Por lo $C_H(P)P$ $p$- subgrupo que contiene $P$, y desde $P$ es Sylow, esto sólo puede ser el caso si $C_H(P)P=P$$C_H(P) \subseteq P$. Por lo $C_H(P) \subseteq C_G(P) \cap P=C_P(P)=Z(P)$ y, por supuesto,$C_H(P) \subseteq H$.
La proposición Deje $G$ ser un grupo finito y $p$ ser un primer divding $|G|$. Deje $X=\bigcup_{P \in Syl_p(G)}P$. A continuación, $|X| \equiv 0$ mod $p$.
La prueba Deje $S \in Syl_p(G)$ y deje $S$ actuar en $X$ por conjugación. Deje $Y=\{x \in X: s^{-1}xs$ todos los $s \in S\}$, el conjunto de puntos fijos en virtud de la acción. Por la Órbita-Estabilizador de Teorema y el hecho de que $S$ $p$- grupo, es evidente que $|X| \equiv |Y|$ mod $p$. Pasemos a analizar el conjunto de $Y$ aplicando el Lema. $Y$ es el conjunto de elementos de $X$ que centralizar $S$: $$Y=C_X(S)= X \cap C_G(S) = \bigcup _{P \in Syl_p(G)}(P \cap C_G(S))= \bigcup _{P \in Syl_p(G)}(P \cap Z(S)) = X \cap Z(S) \subseteq Z(S).$$But obviously $Z(S) \subseteq Y$, and we conclude $Y=Z(S)$. Since $S$ is a non-trivial $p$-group, $Z(S)$ is non-trivial, in particular $|Y|=|Z(S)| \equiv 0$ mod $p$, so $p | |X|$.
