Contar el número de grupo homomorphisms de$S_3$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$?

Question

Tengo que contar el número de grupo homomorphisms de$S_3$$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$?

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Yo conscientes de la fórmula para el cálculo de grupo homomorphisms definido en grupos cíclicos..aquí $S_3$ no es cíclico. Por favor, sugiera cómo proceder.

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Muchas gracias Egbert para los más detallados y respuesta del paciente.

Answer 1

Tenga en cuenta que un homomorphism de $S_3$ $\mathbb{Z}_6$es un homomorphism en un grupo abelian. Por lo tanto, no es un bijection

$$\mathrm{hom}(S_3,\mathbb{Z}_6)\simeq\mathrm{hom}(S_3/[S_3,S_3],\mathbb{Z}_6),$$

donde $[S_3,S_3]$ es normal en el subgrupo de $S_3$ generado por los elementos de la forma $aba^{-1}b^{-1}$. A continuación se demuestra que el $[S_3,S_3]=A_3$, por lo que se deduce del hecho de que $A_3$ tiene índice 2, que $$\mathrm{hom}(S_3,\mathbb{Z}_6)\simeq\mathrm{hom}(\mathbb{Z}_2,\mathbb{Z}_6).$$ Sólo hay dos elementos en $\mathbb{Z}_6$ cuyas órdenes se dividen $2$, por lo que se deduce que sólo hay dos homomorphisms de$S_3$$\mathbb{Z}_6$.

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Como Dylan se señaló en los comentarios, el subgrupo $[G,G]$ de un grupo de $G$ generado por los elementos de la forma $aba^{-1}b^{-1}$ se llama el colector de un subgrupo de $G$. Tenga en cuenta que cada conmutador de $S_n$ es una permutación, y por lo tanto $[S_n,S_n]$ es un subgrupo de $A_n$. Por otro lado, todos los 3-ciclos son conmutadores: $$ (abc)=(ab)(ac)(ab)(ac). $$ Desde el subgrupo $A_3$ es generado por los 3-ciclos, se deduce que el $[S_3,S_3]=A_3$. De ello se desprende que $S_3/[S_3,S_3]=\mathbb{Z}_2$.

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Acerca de la bijection: tenga en cuenta que cada homomorphism de una arbitraria grupo en un grupo abelian siempre envía los conmutadores a 0. En otras palabras, el núcleo de cualquier homomorphism siempre contiene el colector de un subgrupo. Se celebra en más generalidad: Si $G$ es un grupo y $A$ es un grupo abelian, entonces no es un bijection $$ \mathrm{hom}(G,A)\simeq\mathrm{hom}(G/[G,G],A) $$ Más precisamente, este bijection (de derecha a izquierda) por la precomposición con el cociente mapa de $G\to G/[G,G]$. Por lo tanto, la bijection dice lo siguiente: por cada homomorphism $f:G\to A$ existe un único homomorphism $\tilde{f}:G/[G,G]\to A$ con la propiedad de que $f=\tilde{f}\circ\pi_{[G,G]}$. Esta es la característica universal de la mapa (functor) $G\mapsto G/[G,G]$.

Answer 2

Por lo tanto consideramos que $\phi(S_3).$ tenga en cuenta que $|\phi(S_3)|$ divide a 6. Así que las posibilidades son 1,2,3,6.

Supongamos $|\phi(S_3)| = 6,$ a continuación, se asigna a toda la $Z_6,$ que no es posible como $Z_6$ es abeliean y cíclico.

Supongamos $|\phi(S_3)| = 3,$, |Ker $\phi$ | = 2, ya que no es normal subgrupo de orden 2 en $S_3$ el caso es violado.

Finalmente, $|\phi(S_3)| = 2,$ donde ker$\phi$ $A_3$ e al $|\phi(S_3)| = 1,$ Ker $\phi = S_3.$, por Lo que hay 2 homomorphisms.

Answer 3

Usted está buscando maneras de incorporar los cocientes de $S_3$$\mathbf Z/6\mathbf Z$. Así que trate de escribir

1. Los subgrupos normales de $S_3$ y los correspondientes cocientes.
2. El número de maneras de incorporar cada cociente de (1) en $\mathbf Z/6\mathbf Z$. Para esto debería ser suficiente para notar que no abelian cociente se niegan a vivir en el interior de $\mathbf Z/6\mathbf Z$, y que se puede aplicar la fórmula que usted menciona si el cociente pasa a ser cíclico.

Como un ejemplo, $A_3 = \{e, [123], [132]\}$ es un subgrupo normal de $S_n$, y el correspondiente cociente $S_3/A_3$ es el grupo de la orden de $2$. ¿Esto ocurre como un subgrupo de $\mathbf Z/6\mathbf Z$?