¿Floquet y Bloch ' teoremas de s: conexión?

Question

A menudo se dice que del teorema de Bloch y del teorema de Floquet son equivalentes, incluso la del teorema de Bloch es a menudo referido como Floquet-teorema de Bloch. Sin embargo, parece bastante confuso para mí, ya que el primero implica un segundo orden de la ecuación diferencial (ecuación de Schroedinger con un periódico potencial), mientras que el segundo se define para un primer pedido.

Alguien puede aclarar esto a mí? También sería bueno si puedo conseguir referencias que conectan los dos.

Answer 1

No se preocupe acerca de la orden de la ecuación diferencial. Siempre se puede transformar un segundo o mayor orden de la ecuación a un sistema de primer orden ecuaciones diferenciales.

El teorema de Bloch se trata en particular con la ecuación de Schrödinger, mientras que Floquet del teorema se cumple para cualquier homogénea, el sistema lineal de primer orden ecuaciones diferenciales con un periódico matriz de coeficientes.

Por ejemplo, puede empezar con la estacionaria, unidimensional de la ecuación de Schrödinger $$-\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''(x)+V(x)\Psi(x)=0$$ con un $L$-periódico potencial de $V(x+L)=V(x)$.

Ahora sustituye $\varphi_{1}(x):=\Psi(x)$ $\varphi_{2}(x):=\Psi'(x)$ para obtener el sistema de primer orden $$\begin{pmatrix} \varphi_{1}'(x)\\ \varphi_{2}'(x) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{2m}{\hbar^2}V(x) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi_{1}(x)\\ \varphi_{2}(x) \end{pmatrix}=A(x)\vec{\varphi}(x)\text{ .} $$ Desde $A(x)=A(x+L)$, las condiciones de Floquet del teorema se cumplen. Floquet teoría afirma que la matriz fundamental de soluciones $\Phi(x)$ de este sistema lee $$\Phi(x)=P(x)\mathrm{e}^{xB}\text{ ,}$$ con $P(x)=P(x+L)$. Si calcular las matrices $P$$B$, que debería ser obvio que esta es una función de Bloch y $\Phi(x+L)=\Phi(x)$. Lamentablemente no conozco ninguna referencia donde esta bastante elaborado de cálculo se lleva a cabo en detalle.

Answer 2

He aquí una pequeña adición de cómo siempre he entendido:

En la teoría de bandas de los sólidos, básicamente, cada problema se aborda mediante la prescripción de un no-cero periódico de la energía potencial $\mathcal{V}(r)$ en la ecuación de Schroedinger para un electrón en un cristal, de curso junto con un conjunto de suposiciones:

1. La ola-funciones son calculados para una perfecta celosías y scatterings se introdujo más tarde como perturbaciones.

2. En un principio sólo se necesita un único electrón del sistema y trata todo lo demás en los cristales como un efectivo de la energía potencial se $\mathcal{V}(r).$

3. Todo esto permite adoptar la de un electrón ecuación de Schroedinger: $$[(-\hbar^2/2m)\nabla^2+\mathcal{V}(r)]\psi =\epsilon \psi$$ (with $\epsilon$'s elegido de acuerdo con el Fermi-Dirac distribución.)

La primera etapa de las obras de Felix Bloch implicaba teniendo en cuenta el potencial total en dos partes, el potencial electrostático de núcleos atómicos con la traslación de la periodicidad y el potencial debido a todos los demás electrones, suponiendo constante la densidad de carga. Seguidamente se propone para sustituir el total $\mathcal{V}(r)=-eV(r)$ en la ecuación de Schroedinger arriba, que tiene también la periodicidad de la red. Todo lo cual llevó a su conclusión de Bloch wavefunctions que cumplan la anterior ecuación de Schroedinger: $$\psi_k (\mathbf{r})=U_k (r)e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}}$$

Por último, tenga en cuenta que la ecuación de Schroedinger, incluyendo los mencionados supuestos anteriores pertenecen a la familia de la ecuación diferencial conoce en matemáticas como la Colina de la ecuación: donde la periodicidad de las $\mathcal{V}(r)$ requiere de la existencia de soluciones de Bloch-tipo, y esto es generalmente conocido (más para los matemáticos) como del teorema de Floquet.

Así que usted puede ver no hay mucha diferencia, y creo de Floquet del teorema como el caso general de gobierno tales ecuaciones diferenciales, y cuando uno analiza los electrones en redes, el teorema que lleva a la ecuación de $\psi_k$ es descrito como el teorema de Bloch.

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Para una discusión más detallada:

J. S Blakemore explica esta distinción en su libro de Física del Estado Sólido, segunda edición.