ZF y la cardinalidad del conjunto de subconjuntos finitos

Question

En un comentario en una de mis respuestas, me afirmó que el grupo abelian generado por un conjunto de $S$ generadores, cada uno de orden dos, podría tomar en cualquier cardinalidad infinita; esto es equivalente a decir que, si dejamos $\mathscr P'(S)$ el conjunto de los subconjuntos finitos de $S$ (con el grupo antes mencionado es equinumerous), entonces, para cualquier infinita cardinalidad $A$, hay un conjunto de la forma $\mathscr P'(S)$ con cardinalidad $A$.

El axioma de elección implica claramente que esto es cierto, porque implica que $A$ $\mathscr P'(A)$ son equinumerous. (Y esto vale para todos los $A$ es claramente equivalente a CA, puesto que implica que la $A\times A$ $A$ son también equinumerous). Sin embargo, cuando no tenemos el axioma de elección, es comprobable que, incluso si $\mathscr P'(A)$ $A$ no equinumerous, aún así debe de existir $S$ tal que $\mathscr P'(S)$ $A$ son equinumerous?

Answer 1

Supongamos que $\varphi:A\to\wp'(S)$ es una biyección. Que $A_0=\{a\in A:|\varphi(a)|\text{ is even}\}$ y que $A_1=A\setminus A_0$. $\{A_0,A_1\}$ Es una partición de $A$ en conjuntos infinitos, y $A$ por lo tanto no es amorfo. Sin embargo, hay modelos de $\mathsf{ZF+\neg AC}$ en los que hay son sistemas amorfos.