¿Cuál es el límite de $\lim\limits_{(x,y)\to(1,1),\ (x,y)\in S}(1-x^py^q)(1-x^ry^s)\sum_{p/q\le m/n\le r/s}x^my^n$?

Question

Deje $S=[0,1)^2$ $m,n$ son enteros positivos y $p/q,r/s$ son positivos racionales con $p/q<r/s$. ¿Cuál es el límite $$\lim\limits_{(x,y)\to(1,1),\ (x,y)\in S}(1-x^py^q)(1-x^ry^s)\sum_{p/q\le m/n\le r/s}x^my^n?$$

La respuesta es $qr-ps$. Muy interesante, este es el determinante de la matriz de $\begin{pmatrix} r & s \\ p & q \end{pmatrix}$. La suma de $\sum_{p/q\le m/n\le r/s}x^my^n$ también parece ser de la forma

$-1+(1+(x^ry^s)+(x^ry^s)^2+\cdots)(1+(x^py^q)+(x^py^q)^2+\cdots)P(x,y),$

donde $P(x,y)$ es un polinomio con $qr-ps$ términos, y cada plazo $x^ay^b$ corresponden a la celosía punto de $(a,b)$ dentro de la paralleogram se extendió por $(p,q)$$(r,s)$. En otras palabras, $(a,b)=u(p,q)+v(r,s)$ donde $0\le u,v<1$, $u,v\in\mathbb{Q}$. Pero no sé cómo demostrar el número de entramado de puntos es el factor determinante.

Answer 1

Primero la superficie de un paralelogramo generado por dos vectores $(p,q)$ $(r,s)$ (eventualmente hasta un signo menos) igual al determinante $$\det\begin{pmatrix} p&r\\ q&s \end{pmatrix}=ps-qr\,.$$ Ahora que nos permiten contar el número de celosía punto en el paralelogramo y ver que es igual a la superficie del paralelogramo.

A continuación, me gustaría precisar cómo calculamos los puntos de la rejilla:

• Si un entramado punto está en el interior del paralelogramo, contar con un "peso".
• Si se está en el límite de la paralelogramo, pero no un vértice, contar con un "peso" de la mitad.
• Si es un vértice del paralelogramo contar con un "peso" de una cuarta.
• Si un entramado punto está fuera del paralelogramo, contar con "peso cero".

Desde una completa prueba formal sería un poco aburrido y no se que esclarecedor vamos a entender el principio de una imagen.

Veamos un entramado punto de $(m,n)$, que está en el paralelogramo, y considerar el cuadrado con vértices $(m,n)$, $(m+1,n)$, $(m+1,n+1)$,$(m,n+1)$.

• Caso 0: La plaza está totalmente en th paralelogramo y, a continuación, se contribuye a una unidad de la superficie total del paralelogramo.
• Caso 1: Una parte de la plaza está fuera del paralelogramo pero por traducir el vector $\pm(p,q)$, se llega a un cuadrado cuya área es exactamente el original de la plaza. Ve los cuadros 1 y 1' en la imagen. Un caso similar puede ocurrir con $\pm(r,s)$ en lugar de $\pm(p,q)$.
• Caso 2: Una parte de la plaza está fuera del paralelogramo, pero por traducir por $(p,q)$ o $(r,s)$ obtener dos plazas que completa la original, y las celosías punto en la esquina inferior izquierda contar de uno en la cuenta de uno. Este sería el caso de la plaza 2, 2', 2, o 3, 3' y 3".

Comentario 1: En el hecho de la plaza 2 corresponde a cuatro plazas, pero yo no representan el cuarto con la esquina inferior izquierda $(p+r,q+s)$, que habrían contribuido a cero en la zona. Pero es muy importante que cuando uno cuenta los puntos correspondientes en la red.

Observación 2: yo un poco engañado: Otros casos puede ocurrir cuando el paralelogramo es muy plana, pero se puede adaptar el método, pero con más traducciones.