¿Lo que estoy haciendo mal para calcular el siguiente límite?

Question

$$\lim_{x\to-2} \frac{x+2}{\sqrt{6+x}-2}=\lim_{x\to-2} \frac{1+2/x}{\sqrt{(6/x^2)+(1/x)}-2/x^2}$$ Dividing numerator and denominator by $x # \neq0$

¿ $$\frac{1+2/-2}{\sqrt{(6/4)+(1/-2)}-2/4}=\frac{0}{1/2}=0$$ but the limit is $$ %4 según Wolfram Alpha?

Answer 1

Dices divida por $x$, pero que no es lo que haces en el denominador; sería:

$$\lim_{x\to-2} \frac{x+2}{\sqrt{6+x}-2} = \lim_{x\to-2} \frac{1+\tfrac{2}{x}}{\tfrac{\sqrt{6+x}}{x}-\tfrac{2}{x}} = \lim_{x\to-2} \frac{1+\tfrac{2}{x}}{-\sqrt{\tfrac{6}{x^2}+\tfrac{1}{x}}-\tfrac{2}{x}}$$

Un mejor enfoque: $$\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to-2} \frac{x+2}{\sqrt{6+x}-2} & \displaystyle = \lim_{x\to-2} \frac{\left(x+2\right)\color{blue}{\left(\sqrt{6+x}+2\right)}}{\left(\sqrt{6+x}-2\right)\color{blue}{\left(\sqrt{6+x}+2\right)}} \\[7pt] & \displaystyle = \lim_{x\to-2} \frac{\left(x+2\right)\left(\sqrt{6+x}+2\right)}{x+2} \\[7pt] & \displaystyle = \lim_{x\to-2} \left(\sqrt{6+x}+2\right) \\ & = 4 \end{matriz}$$

Answer 2

Uno puede definir $u=x+2$, entonces, como $x \to -2$, tenemos $u \to 0$, dando $\frac{x+2}{\sqrt{6+x}-2}=\frac{u}{\sqrt{u+4}-2}\times\frac{\sqrt{u+4}+2}{\sqrt{u+4}+2}=\sqrt{u+4}+2 \to 4.$$

Answer 3

Se pueden aplicar L'Hospital regla, es decir numerador diferenciales y funciones denominador con respecto a los $x$,

$$2\sqrt{x + 6} = 2 \sqrt{-2 + 6} = 4$$