Es $\cos \cos 1 - \sin \sin \sin 1$ ¿positiva?

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$$\cos \cos 1 - \sin \sin \sin 1$$

es positivo?

Esto está motivado por esta pregunta . Si

$$\begin{align} f(x) &= \cos \cos \cos \cos(\pi/2 + ix) - \sin \sin \sin \sin(\pi/2+ix)\\ &= \cos \cos \cos \sinh x - \sin \sin \sin \cosh x, \end{align}$$

entonces parece que $f(x)$ tiene un cero en el intervalo $(0,1)$ . Esto implicaría que

$$ \cos \cos \cos \cos(z) - \sin \sin \sin \sin(z) $$

tiene infinitos ceros en la franja $0 < \Im(z) < 1$ .

Una forma de demostrar que ese cero existe sería mostrar que $f(1) < 0 < f(0)$ , cuyo lado derecho es la pregunta actual. Tampoco sé cómo mostrar el lado izquierdo, pero ahora me interesa esta pregunta por sí misma.

Answer 1

Recordemos que $$ 1-\frac{1}{2}x^2 \;<\; \cos x \;<\; 1-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 $$ para $x>0$ . A partir del límite superior, vemos que $\cos 1 < 13/24$ . Desde $\cos$ es decreciente, se deduce que $$ \cos(\cos 1) \;>\; \cos\left(\frac{13}{24}\right) \;>\; 1-\frac{1}{2}\left(\frac{13}{24}\right)^2 \;>\; 0.85. $$ A continuación, recuerda que $$ \sin x < x $$ para todos $x>0$ . Desde $\sin x$ es creciente, esto nos da $$ \sin\sin\sin 1 \;<\; \sin \sin 1 \;<\; \sin 1. $$ Pero también sabemos que $$ \sin x \;<\; x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 $$ para todos $x>0$ . De ello se desprende que $$ \sin\sin\sin 1 \;<\; \sin 1 \;<\; \frac{101}{120} \;<\; 0.85. $$

Answer 2

Supongo que ha escrito su pregunta como quiere, ya que $$ \cos\cos\cos 1= 0.65< \sin \sin \sin 1=0.67$$

Si realmente quieres sólo dos $\cos$ iteraciones a la izquierda entonces la desigualdad es verdadera y se puede demostrar así:

$$\cos(\cos(1))=\sin(\pi/2-\cos 1)>\sin 1$$

desde $f(x)=\cos x+x$ es estrictamente creciente y $f(\pi/2)=\pi/2$ . Por lo tanto, $f(1)<\pi/2$ y utilizando la monotonicidad de $\sin $ en $[0,\pi/2]$ ya está hecho.

Queda por señalar que $$ \sin 1 >\sin \sin 1>\sin \sin \sin 1$$