Descomposición de productos del tensor de representaciones irreducibles de grupos reductores sobre un campo finito

Question

Deje $G$ ser una reductora grupo sobre un campo finito (es decir, grupos finitos sobre la mentira de tipo). El caso más me interesa es $G=GL_{n}(\mathbb{F}_{q})$; otros clásicos grupos son también muy interesante, creo.

Deligne-Lusztig teoría tiene mucho que decir acerca de la irreductible representaciones y caracteres de estos grupos. Para $G=GL_n(\mathbb{F}_q)$, Verde del papel de la década de 1940 que da a los personajes de forma explícita. La siguiente pregunta supongo que es en parte una referencia de la solicitud, ya que la pregunta ha sido, probablemente, examinado en la literatura en algún lugar, pero soy incapaz de encontrar una referencia.

Pregunta: Vamos a $V$ $W$ dos representaciones irreducibles de $G$. ¿Qué se puede decir acerca de la descomposición de la $V \otimes W$ en irreducibles? Específicamente:

• Hay casos especiales de $V$ para que la descomposición de la $V \otimes W$ en irreducibles siempre puede ser explícitamente determinado? (por ejemplo, con el grupo simétrico $S_n$, hay alguna teoría que hace esto para regular la representación de la dimensión $n-1$, y también considero que el trabajo que hace por las representaciones correspondientes a los dos-fila de particiones).
• Hay algo que puede decirse de la descomposición de la $V \otimes V$ en general?
• Lo que sobre, si $V$ $W$ en realidad no son irreducibles, pero en lugar de las representaciones obtenidas de $l$-ádico cohomology; por ejemplo, la representación virtual $R_{T, \theta}$ se define como la alternancia de las sumas de varios cohomological representaciones. Como un ejemplo, considere la posibilidad de la representación de la $G$ que actúa sobre el $i$-th cohomology de la Deligne-Lusztig variedad $X_{T}$ correspondiente a un fijo torus $T$; si nos tensor de dos diferentes cohomological representaciones correspondientes a los diferentes tori, y cohomology para diferentes valores de $i$, ¿qué podemos decir? Puesto que el $R_{T, \theta}$ se define como la alternancia de las sumas de estos, tal vez esta pregunta ayudará con nuestro problema original.

Answer 1

Usted podría estar interesado en arxiv:0805.0787 de papel de Lusztig Tensor productos de representaciones están estrechamente relacionados con los productos del tensor de poleas de carácter; sin embargo, poleas de carácter no están cerradas bajo tensoring. En el documento sobre Lusztig explica que se puede ampliar ligeramente clase de poleas del personaje para que sea cerrado bajo tensoring. Por lo menos en un caso de PGL(2) esto es equivalente a la existencia de patrones muy simples y agradables en la descomposición de productos del tensor.

Answer 2

Ambos Tamas y Víctor han señalado a la mejor literatura actual para general lineal de los grupos o de los demás de Mentir tipo, pero tal vez sea útil añadir una serie de pequeños comentarios para complementar sus respuestas.

1) El finito lineal general de los grupos, como su clásico homólogos, son, con mucho, el mejor comportamiento de los grupos de Lie tipo de teoría de la representación (tanto ordinarias y modular) y relacionados con la combinatoria. Aún así, todos los aspectos de la teoría implican profundas ideas y enfoques indirectos como Lusztig de trabajo a lo largo de muchas décadas demuestra. Por otra parte, incluso los relacionados con grupos como $GL, PGL, SL, PSL$ tienen carácter teorías con diferentes grados de dificultad. Mientras que el Verde del 1955 papel proporciona un algoritmo de camino al trabajo caracteres de finito lineal general de los grupos, la especial lineales grupos han requerido mucho más sofisticados métodos desarrollados primero por Deligne-Lusztig. Generalmente, no es fácil para los grupos de Lie tipo para decir claramente lo que significa "conocer" a los personajes del grupo.

2) Para cualquier grupo finito, tensor de productos de representaciones irreducibles (o productos de caracteres) puede ser arbitrariamente difícil trabajar en detalle, incluso después de las tablas de caracteres está en la mano. Es mucho más difícil para los grupos de Lie tipo, donde el conocimiento de los caracteres es generalmente de algorítmica. La mejor esperanza de llegar uniforme de respuestas es para preguntar sobre el tensor de productos de "genérico" irreducibles, que predominan cuando el subyacente prime $p$ y su poder $q$ crecer. Deligne-Lusztig la teoría de los constructos de los personajes virtuales, pero "la mayoría" de estos tienden a ser los auténticos personajes y ya muestran agradable patrones en su distribución dentro de la serie se correlaciona con el tamaño de las clases en el grupo de Weyl. Así, por $PGL_2(\mathbb{F}_q)$ aproximadamente la mitad de los personajes tienen un grado $q+1$ (director de la serie) y la mitad tienen un grado $q-1$ (discreta de la serie). En el otro extremo están los Steinberg carácter de grado $q$ y el carácter trivial (estos son los "unipotentes" caracteres).

3) Como Víctor señala, Lusztig resumen en el rango 1 muestra indirectamente de cómo responder a una natural cualitativa pregunta: en una "típica" de un producto tensor de dos irreductible personajes, ¿con qué frecuencia principal de la serie y la discreción de los personajes de la serie aparecen? (Respuesta: sobre la misma frecuencia.) Preguntas similares para otros grupos mucho más complicado de resolver.

4) Lusztig el carácter de los resultados de la Mentira de los tipos B, C, D mostrar cómo drásticamente la complejidad aumenta, aunque los resultados pueden ser organizados de forma combinatoria. Para el estudio de tensor de productos requiere hacer las preguntas correctas.

5) En la pregunta original, Vinoth comentarios: pero no estoy realmente interesado en la excepcional grupos de Lie tipo (para aquellos que, este problema debe ser una norma sin sentido cómputo). En realidad, decir algo interesante sobre el tensor de los productos que aquí se requiere un enfoque creativo. Por ejemplo, lo que se muestra por Lusztig acerca de los personajes de $E_8(q)$ es sutil y computacionalmente no es tan fácil de trabajar con. Hay 166 unipotentes personajes, cuyos grados son polinomios en $q$, pero aproximadamente un tercio de ellos no se producen como constituyentes del personaje inducida desde el carácter trivial de un Borel subgrupo. Conociendo estos personajes es esencial para la producción de la completa tabla de caracteres, etc.

6) Desde el Steinberg personaje se produce en el otro extremo de la "genérica" de los personajes, es interesante preguntarse cómo su producto con otros irreductible personajes se van a descomponer. Este tiene ecos en el modular de la teoría de la representación, como se ha visto en el reciente trabajo de Silbido y Zalesski, y es difícil de clasificar, incluso para el tipo A. la gran cantidad de preguntas que hay sobre tensoring.

Answer 3

Teorema 1.4.1 en arxiv:0810.2076 respuestas a algunas de tus preguntas para los genéricos semisimple representaciones irreducibles. Emmanuel letellier llegó hasta ahora inéditas de los resultados donde se hace responder a su pregunta para todos los genéricos irreductible representaciones en términos de intersección cohomology de ciertos carcaj variedades. No sabíamos acerca de otros resultados en la representación anillo de $GL_n({\mathbb F}_q)$. EDIT: pero ver a Victor de la respuesta de los correspondientes resultados de Lusztig. EDICIÓN 2 (añadido 16/03/11) letellier llegó papel, ahora está disponible en: http://arxiv.org/abs/1103.2759