Los operadores de Toeplitz proporcionar un lenguaje natural con el que hacer de cuantización geométrica. No quiero entender realmente de ellos, y yo no los necesita en todos los casos. Estoy buscando algunas referencias que se proporcionan fórmulas para calcular los productos de los operadores de Toeplitz, y específicamente las fórmulas para el asymptotics de productos tales como la constante de Planck h → 0. Voy a dar algunos antecedentes (también para los expertos puede corregir cualesquiera errores que pudiera tener), y, a continuación, esbozar el tipo de cálculo que desea realizar.
De fondo
Una cuantización de un conmutativa de Poisson álgebra Una (un álgebra conmutativa Una es de Poisson si viene equipado con un bilineal soporte {,}: Un ⊗ Un → Una que es una derivación en cada coordenada (es decir, la regla de Leibniz) y una Mentira soporte (es decir, antisymmetry y Jacobi)) es un buen paquete de álgebras sobre la línea real (o algunas abrir subinterval de la misma), con ciertas propiedades. Pensar en el paquete como una familia Unh de (no conmutativa) álgebras, donde h es mi variable real. Las condiciones son que Un0 = Una; que nos han dado lineal isomorphisms φh : Un0 → Unah; y los que limh→0 fh-1( h-1 [ φh(a) , φh(b) ] ) = {a,b}, donde [,] es el colector de soporte y {,} es el corchete de Poisson. Las cuantizaciones no están determinadas por sus álgebras de Poisson: por ejemplo, tomar cualquier liso mapa R → R que envía 0 a 0 y ha derivado 1 a 0, y tire el paquete de álgebras de vuelta a lo largo de este mapa.
(Un ejemplo típico de una cuantización es el universal que envuelve el álgebra de un finito-dimensional Mentira álgebra. En efecto, si G es finito-dimensional álgebra de la Mentira (lo siento, no sé cómo hacer fraktur letras aquí), entonces el álgebra simétrica S_G_ es el álgebra de los polinomios en el espacio dual de G*, y hereda un corchete de Poisson {f,g}(p) = <p,[df(p),dg(p)]>, donde <,> es el emparejamiento G* ⊗ G → R, y puesto que G* es un espacio vectorial, puedo canónicamente identificar T*pG* = G; [,] es la Mentira de soporte en G. De todos modos, vamos a Gh sea la Mentira de álgebra G con el reescalado soporte [a,b]h = h[a,b]. A continuación, el universal envolvente álgebra U_G_h es una cuantificación de la distribución de Poisson álgebra S_G_.)
((Otro paréntesis: la mayoría de la gente realmente cuantizaciones de Cy, a continuación, pedir que el complejo conjugación deforman bien. A veces, ellos también decoran sus fórmulas con _i_s. Esto tiene que ver con la capacidad para encontrar buenas representaciones de álgebras no conmutativas en términos de operadores acotados en espacios de Hilbert. Voy a omitir las partes de la definición.))
Las cuantizaciones fueron originalmente inventado para describir la mecánica cuántica en Rn, y esta es la situación que estoy tratando de entender. Dejar que Un ser un álgebra de funciones en la cotangente del paquete T*Rn = R2n. Si tomamos el álgebra de polinomios en R2n, es generado por {p1,..., pn, p1,..., pn}, y el corchete de Poisson es definido por {pi,pj} = δij, la delta de Kronecker. Aquí son dos las cuantizaciones:
- La QP de cuantización. Para h distinto de cero, vamos a Unh ser el álgebra de operadores diferenciales en el polinomio anillo R[p1,..., pn]. Construir los mapas φh mediante el envío de qi∈Un (multiplicación) q en Unah, y enviar a pi∈Una a la derivada parcial operador δyo. Para una más complicado monomio, primero se escriben con todas qs a la izquierda y todos los ps a la derecha y, a continuación, aplicar las anteriores mapas, letra por letra.
- El Z-Z-barra de cuantización. Complejizar Una, y cambiar las variables de modo que zj = qj + ipj y wj = qj - ipj. Escribir cada monomio con el zs a la izquierda y el ws a la derecha, y dejar que el monomials actuar en el polinomio de álgebra C[z1,..., zn] de forma análoga a en la QP caso. Creo que se puede reincorporar por la estructura real de la grabación de la acción de "complejo de conjugación".
Hasta ahora, he estado jugando con la QP de cuantización. Este tiene una extensión natural de la álgebra de funciones en T*Rn que se polinomio en las p variables, pero suave en las p variables (es decir, C∞Rn ⊗ R[p1,..., pn]).
Lo que me han dicho es que los operadores de Toeplitz de cuantización (al menos) el álgebra de funciones analíticas en T*Rn, (en realidad, funcionan mucho más general para cuantizar simpléctica colectores, pero yo no los necesita), y que la cuantificación corresponde a la Z Z-barra de cuantización de arriba.
El cálculo que me gustaría hacer
Comenzando con una de Lagrange en Rn, es relativamente sencillo escribir el formal Feynman ruta integral (una potencia de serie en h), y sé que algunas cosas acerca de los derivados de este poder formal de la serie con respecto a las variables físicas. Esta serie es una supuesta solución a la ecuación de Schroedinger. Cuando el Lagrangiano es cuadrática en la velocidad, puedo calcular el Hamiltoniano de forma explícita, y por supuesto de Schroedinger la ecuación se satisface. Cuando el Lagrangiano no es cuadrática, el Hamiltoniano es aún bien definido, pero no tengo suficientemente explícito en las fórmulas, y en general no es polinomial en el impulso. Tengo varias ecuaciones diferenciales satisfecho por el Hamiltoniano, y tengo la esperanza de que con estas y las fórmulas correctas para el asymptotics de productos de operadores de Toeplitz, puedo comprobar la ecuación de Schroedinger (asintóticamente) sin saber precisamente lo que el operador de Schroedinger.
