¿Es el conjunto de puntos cerrados de un $k$-esquema de tipo finito denso?

Question

Que $k$ ser un campo. Que $X$ sea un esquema de tipo finito $k$. Denota por $X_0$ el conjunto de puntos cerrados de $X$. ¿Es denso en $X_0$ $X$?

Motivación Ver mi comentario a la respuesta de Martin Brandenburg a esta pregunta.

Answer 1

Sí, el subconjunto $X_0\subset X$ cerrado de puntos es denso en $X$: esto es cierto incluso si usted sólo suponga que $X$ $k$- esquema localmente finitos tipo.
Técnicamente el subconjunto $X_0$ tiene la propiedad de ser muy densa en la $X$, lo que significa que el mapa enviar a un subconjunto abierto de $X$ a su traza en $X_0$ es un bijection entre los subconjuntos abiertos de $X$ y los de $X_0$ (siempre con la inducida por la topología) .
La prueba no es muy difícil y utiliza la caracterización de un punto de cierre $x$ como uno que ha finito dimensionales residual de campo, es decir,$[\kappa(x):k]\lt \infty$.
Detallada de la prueba se puede encontrar en Görtz-Wedhorn del libro, la Proposición 3.35.

Edit: ¡advertencia !
Los principiantes (y yo, obviamente, no significa que Makoto aquí!) debe ser sorprendido al leer que el círculo de $x^2+y^2+1=0$, visto como un subconjunto de a $\mathbb A^2_\mathbb R$, tiene un subconjunto denso de la real cerrada puntos!
La paradoja se resuelve por darse cuenta de que un punto cerrado de ese círculo no es un inexistente par $(r_1,r_2)\in \mathbb R^2$ satisfacción $r_1^2+r_2^2+1=0$, pero un máximo ideal en $\mathbb R[X,Y]$ contiene $X^2+Y^2+1$, como por ejemplo el ideal maximal $(X-2,Y^2+5)\subset \mathbb R[X,Y]$.

Answer 2

Sí, esto sigue del hecho de que tal esquema es Jacobson, ya que un campo es Jacobson y un álgebra de tipo finito sobre un anillo de Jacobson Jacobson. Una de las caracterizaciones de un espacio de Jacobson es que todo subconjunto cerrado es el cierre de su subconjunto de puntos cerrados.

Answer 3

Lema 1 Deje $k$ ser un campo. Deje $A$ integrante de dominio que es un $k$-álgebra de finito tipo. Deje $\bar k$ ser una expresión algebraica cierre de $k$. Entonces existe $k$-álgebra homomorphism $\psi\colon A \rightarrow \bar k$.

Prueba: Este es un caso especial de esta pregunta(tome $b = 1$).

Lema 2(débil Nullstellensatz) Deje $k$ ser un campo. Deje $A$ $k$- álgebra de finito tipo. Deje $\mathfrak{m}$ ser un ideal maximal de a $A$. A continuación, $A/m$ es finito $k$.

Prueba: Deje $\bar k$ ser una expresión algebraica cierre de $k$. Por el Lema 1, existe $k$-álgebra homomorphism $\psi\colon A/\mathfrak{m} \rightarrow \bar k$. Desde $A/\mathfrak{m}$ es un campo, $\psi$ es inyectiva. Por lo tanto $A/\mathfrak{m}$ es algebraico sobre $k$. Ya que es finito tipo más de $k$, es finito $k$. QED

Lema 3 Deje $k$ ser un campo. Deje $X$ ser afín $k$-esquema de la finitos tipo. Deje $x \in X$. A continuación, $k(x)$ es algebraico sobre $k$ si y sólo si $x$ es un punto cerrado de $X$.

Prueba: Supongamos $X = Spec(A)$ donde $A$ $k$- álgebra de finito tipo. Deje $P$ ser una de las primeras ideal que corresponde a $x$. Podemos identificar a $k(x)$ con el campo de fracciones de $A/P$.

Supongamos $x$ es un punto cerrado de $X$. A continuación, $P$ es un ideal maximal. Por lo tanto $k(x) = A/P$ es algebraico sobre $k$ por Lema 2.

Por el contrario supongamos $k(x)$ es algebraico sobre $k$. A continuación, $A/P$ es de un número finito de álgebra $k$. Desde $A/P$ es una parte integral de dominio, $A/P$ es un campo. Por lo tanto $P$ es un ideal maximal. QED

Lema 4 Deje $k$ ser un campo. Deje $X$ $k$- esquema localmente finitos tipo. Deje $U, V$ ser afín a abrir los subconjuntos de a $X$ tal que $U\cap V \ne \emptyset$. Deje $x \in U \cap V$. Supongamos $x$ es un punto cerrado de $U$. A continuación, $x$ también es un punto cerrado de $V$.

Prueba: De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 3.

Lema 5 Deje $k$ ser un campo. Deje $X$ $k$- esquema localmente finitos tipo. Deje $U$ ser un no-vacío afín a abrir subconjunto de $X$. Entonces cualquier punto cerrado de $U$ es un punto cerrado de $X$.

Prueba: Deje $x$ ser un punto de cierre de $U$. Deje $Z$ es el cierre de $\{x\}$$X$. Deje $\{U_i\}$ ser afín a abra la cubierta de $X$. Desde $Z = Z \cap X = \bigcup_i Z \cap U_i$, es suficiente para demostrar que $Z \cap U_i = \{x\}$ siempre$Z \cap U_i$ no está vacía. Supongamos $Z \cap U_i$ no está vacía. A continuación,$x \in U_i$. Por el Lema 4, $x$ es un punto cerrado de $U_i$. Por lo tanto $Z \cap U_i = \{x\}$ QED

La proposición Deje $k$ ser un campo. Deje $X$ $k$- esquema localmente finitos tipo. Deje $X_0$ el conjunto de puntos cercanos de $X$. A continuación, $X_0$ es denso en $X$.

Prueba: De esta manera se sigue inmediatamente del Lema 5.