Problema relacionado con las matrices de permutación del libro de Michael Artin.

Question

Deje que $p$ ser la permutación $(3 4 2 1)$ de los cuatro índices. La matriz de permutación asociada a ella es $$P = \begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end {bmatrix}$$ Esta es la matriz que permea los componentes de un vector de la columna.

Los problemas te piden que te descompongas $p$ en transposiciones y muestran que el producto de la matriz asociada es igual a la matriz anterior. Sin embargo, no entiendo que lo haga y lo he repasado varias veces. Aquí están mis cálculos:

$p = (12)(14)(13)$

$$P_{(12)} = \begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}, P_{(14)} = \begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end {bmatrix}, P_{(13)}= \begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix}$$

Sin embargo, $$P_{(12)} (P_{(14)} P_{(13)}) = \begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end {bmatrix} \neq P$$

No veo dónde me he equivocado.

Answer 1

La permutación es en efecto $(1342)$ pero esto se descompone como $(13)(14)(12)$ así que deberías calcular $$P_{(13)} P_{(14)} P_{(12)} = \begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end {bmatrix} \cdot \begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} = P.$$

Debes componer tanto las permutaciones como las matrices de forma consistente de izquierda a derecha.

Answer 2

El punto es que no puedes usar data defined override posicionamiento con una expresión Y el uso move labels al mismo tiempo. Sólo puedes hacer cualquiera de ellas. (O introducir tus coordenadas manualmente sin usar el move label característica).

Sé que no es una solución satisfactoria, pero si quieres usar el move label es necesario eliminar primero la expresión de la anulación de los datos definidos y usar sólo los campos". X "o" Y ". Entonces habilita edit mode para su capa, mueva las etiquetas, guarde la capa e introduzca su expresión de nuevo en data defined override .

Creo que el trasfondo es que el QGIS no puede guardar las coordenadas en expresiones. Sólo en campos. Por eso está tratando de usar almacenamiento auxiliar ya que no reconoce la expresión como campo.

Puede que quieras hacer una solicitud de características, pero me imagino (aunque no me dedico al desarrollo de software), que implementar esto podría no ser la tarea más fácil.

Answer 3

Creo que encontré el problema. Estaba usando la definición $PX = \begin {bmatrix} X_{p(1)} \\ X_{p(2)} \\ \vdots \\ X_{p(n)} \end {bmatrix}$ es decir. $P$ opera en $X$ al permutar los índices por $p$ . Sin embargo, el libro define $PX$ como $X_i$ es enviado a la posición $p(i)$ en el vector de la columna $X$ . Estas definiciones son inversas entre sí, así que de alguna manera es por eso que mi multiplicación de matrices fue corregida reordenando las matrices. De nuevo, la definición adecuada de $P$ es $\sum_ {i=1}^n e_{p(i), i}$ donde $e_{i,j}$ es la unidad matriz con $1$ en la posición $i,j$ y cero en otros lugares.

Refiriéndome a mi primer puesto, $P$ fue definido usando la definición incorrecta, simplemente transponiendo $P$ nos dará el apropiado $\sum_ {i=1}^n e_{p(i), i}$ definición. Ahora la multiplicación funciona como debería.