Deje $a_n=\cos(a_{n-1}), L=[a_1,a_2,...,a_n,...].$ hay $a_0$ tal que $L$ es denso en$[-1,1]?$

Question

He estado experimentando con recursiva secuencias últimamente y me he encontrado con este problema:

Deje $a_n= \cos(a_{n-1})$ $a_0 \in \Bbb{R}$ $L=[a_1,a_2,...,a_n,...].$

¿Existe un $a_0$ tal que $L$ es denso en $[-1,1]?$

Sé de $3$ formas de examinar si un conjunto es denso:

$i)$La definición, es decir, si su cierre es el conjunto en el que es denso, en nuestro caso, esto significa que si: $\bar L=[-1,1]$.

ii)$(\forall x \in [-1,1])(\forall \epsilon>0)(\exists b \in L):|x-b|<\epsilon$

$iii)$ $(\forall x \in [-1,1])(\existe b_n \subseteq L):b_n\rightarrow x$

Hasta ahora no he sido capaz de utilizar estos para responder a la pregunta. He intentado conectar diferentes valores de $a_0$ y a ver a dónde nos lleva, pero no he encontrado ninguna correspondientes prometedor "patrón" de $a_n$. Cualquier idea sobre cómo abordar esto?

Answer 1

Ok, si vas a estudiar recursiva secuencias, entonces probablemente haya escuchado acerca de "Lamere Escalera".

De acuerdo a Lamere Escalera para $\cos(x)$ (que es también una contracción debido a la MVT), esta función tiene un fixed (fija) punto. Así que, independientemente de $a_0$, $a_1$ va a terminar en la entre $[-1, 1]$ y a partir de ahí, la secuencia de $\{a_n\}$ tienden hacia el punto fijo de $\cos(x)$. Lo que hace que $L$ una convergencia de la secuencia, por lo $L$ no puede ser densa, debido a que el único punto de satisfacciones ii) (en tu pregunta) es su límite.

En otra nota, de Kronecker del teorema de aproximación es una herramienta útil también. Por ejemplo, $\{n+ m \cdot 2 \cdot \pi \space | \space m,n \in \mathbb{Z} \}$ es denso en $\mathbb{R}$ $cos(x)$ es una función continua, lo $\{cos(n)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ denso en $[-1,1]$.

Answer 2

Por la continuidad de la función coseno, $a_n=\cos a_{n-1}$, que para cualquier $a_0\in [-1,1]$ satisface $a_n>0$ todos los $n=1,2,...$, por lo que no pueden cruzarse el conjunto abierto $[-1,0)-\{a_0\}$.