¿Qué matemáticas son necesarias para aprender las variedades?

Question

Quiero aprender sobre los colectores, pero sólo estoy en el último año de la escuela secundaria y, obviamente, tengo un tiempo por delante. Estoy en AP Calc BC. ¿Qué debería estudiar para acabar aprendiendo sobre los colectores? ¿Álgebra lineal? ¿Qué más?

Answer 1

Odio tener que añadir otra respuesta a la lista, pero me gustaría ser riguroso. Los requisitos previos para aprender sobre los colectores son los siguientes:

• Cálculo multivariable
• Álgebra lineal
• Análisis real
• Topología de conjuntos de puntos (también conocida como topología general)

Para cálculo multivariable y álgebra lineal La mayoría de los textos estándar son suficientes. Ten en cuenta que el cálculo multivariable y el álgebra lineal pueden aprenderse de forma independiente (por lo que no importa cuál aprendas primero).

Hay muchos textos buenos para aprender análisis real Algunos de ellos se mencionan en las respuestas a esta pregunta . Será importante que tu formación en análisis real cubra no sólo la diferenciación e integración de una sola variable, sino también la diferenciación e integración multivariable. En particular, es importante que aprendas sobre la Teorema de la función inversa y Teorema de la función implícita .

Dónde topología de conjunto de puntos se refiere, es de esperar que algo de esto se cubra cuando se aprenda el análisis real. (De hecho, muchos textos de análisis consideran que la topología de conjuntos de puntos es una parte del análisis). Tendrá que aprender sobre espacios métricos y espacios topológicos . Un libro excelente para esto es " Topología " (Munkres).

Por último, una vez superado todo esto, yo diría que el texto a utilizar para teoría de los colectores es " Introducción a los colectores suaves " (John Lee). De hecho, el libro tiene un apéndice al final que trata rápidamente cada uno de estos cuatro temas. Así que, si no puede contener su curiosidad, puede que merezca la pena echarle un vistazo.

Opcional: Un prerrequisito más útil (pero no necesario) es la geometría diferencial elemental (o geometría diferencial clásica), que es un hermoso tema para aprender una vez que hayas terminado con el cálculo multivariable. Mi libro de texto recomendado es " Geometría diferencial elemental " (Pressley).

Answer 2

Lo más probable es que tenga conocimientos de álgebra lineal, como ha dicho, de cálculo multivariable y de análisis real y complejo. Por ejemplo, Rudin comienza una discusión de los colectores después de discutir el análisis multivariable estándar en sus Principios de Análisis Matemático.

Answer 3

Creo que los requisitos previos que se necesitan para estudiar la teoría de los colectores dependen del aspecto de la teoría de los colectores que se desee estudiar. Por ejemplo, un buen conocimiento de topología algebraica es más esencial si se desea estudiar topología diferencial que si se desea estudiar geometría diferencial (aunque eventualmente se debería aprender topología algebraica con cierta profundidad sin importar el aspecto de la teoría de los manifiestos que se persiga). Sin embargo, los requisitos previos para estudiar la teoría estándar de las variedades diferenciables son (en general) la topología de conjuntos de puntos, el álgebra lineal y el cálculo avanzado (multivariable). Un buen conocimiento de la topología de conjuntos de puntos y del álgebra lineal implica que se tiene la madurez matemática necesaria para estudiar la teoría de los manifiestos, así como los conocimientos necesarios; por lo tanto, es importante estudiar cuidadosamente estas dos materias.

Por ejemplo, puede que quiera ver Topología: Un primer curso por James Munkres y Álgebra lineal bien hecha de Sheldon Axler que le proporcionará más conocimientos en estos temas de los estrictamente necesarios en la teoría de los colectores (pero estos conocimientos serán esenciales en su estudio de otras ramas de las matemáticas). Por último, creo que Principios del análisis matemático de Walter Rudin proporciona un sólido conocimiento de los elementos del cálculo avanzado (tanto de una sola variable como multivariable) que serán necesarios para la teoría de los colectores.

En resumen, sería una buena idea utilizar la teoría de los colectores como medio para avanzar en el conocimiento de otras ramas (esenciales) de las matemáticas, ya que los prerrequisitos para la teoría de los colectores son más fundamentales en las matemáticas (en su conjunto) que la propia teoría de los colectores.

Espero que esto ayude.

Answer 4

Estoy de acuerdo con la respuesta de @analysisj (y la he votado al alza). Sólo quería añadir que podría ser útil repasar algo de topología dependiendo de cómo se hayan impartido tus cursos de análisis real y complejo. Algunos cursos de análisis utilizan libros que son ligeros en la teoría de la topología de conjuntos de puntos.

Answer 5

Además del álgebra lineal, el análisis y la topología, como otros han sugerido, aprender algo de geometría diferencial clásica probablemente tampoco sería una mala idea. Las definiciones muy abstractas que uno encuentra en la teoría de los colectores se inspiran en los principios de la geometría diferencial, al igual que la topología de conjuntos de puntos se inspiró en el análisis. Ver que estos conceptos se hacen tangibles mediante cálculos concretos dará más sentido a la maquinaria más elaborada de los colectores y las formas diferenciales.