Es el mapa en la terminal objeto de una epimorphism?

Question

Deje $C$ ser una categoría con un terminal de objeto $1$. Es la única flecha de un objeto en $1$ necesariamente un epimorphism? Si no, es una epimorphism si $C$ es un topos?

Answer 1

No a las dos. Deje $\mathcal{C}$ ser el topos $\mathbf{Set} \times \mathbf{Set}$ y considerar el objeto de $(\emptyset, 1)$; la terminal de objeto en $\mathbf{Set} \times \mathbf{Set}$$(1, 1)$, pero la única morfismos $(\emptyset, 1) \to (1, 1)$ no es un epimorphism. Nota: $(\emptyset, 1)$ no es un objeto inicial; si usted permite que, entonces tenemos un contraejemplo incluso en $\mathbf{Set}$: el único mapa $\emptyset \to 1$ no es un surjection.

Answer 2

Por dualidad, tu pregunta es equivalente a: Es cada morfismos de la inicial objeto de un monomorphism? No, por ejemplo, en $\mathsf{CRing}$ con objeto inicial $\mathbb{Z}$ esto es sólo para los anillos de la característica $0$.