Demostrar que no hay ninguna secuencia infinita de números naturales tal que $a_{a_n}=a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2$ todos los $n\geq 2$.
Esta pregunta es de un Bielorruso del concurso de matemáticas y cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
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vadim123
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He aquí cómo empezar.
La clave de todo el problema es que los números deben ser natural, por lo tanto positivos. En particular, esto significa que $$a_{n+1}a_{n-1}>a_n^2$$ Por lo tanto, para todos los $n\ge 2$, $a_{n+1}>a_n$ o $a_{n-1}>a_n$ (o ambos). Supongamos que para algunos $n$ que $a_{n+1}\ge a_n$. Ahora debemos tener $a_{n+2}>a_{n+1}$, y, a continuación,$a_{n+3}>a_{n+2}$, por lo tanto el resto están aumentando $$a_n\le a_{n+1}<a_{n+2}<a_{n+3}<\cdots$$
Por lo tanto la secuencia como un todo tiene un (posiblemente vacía, pero definitivamente finito) segmento donde es estrictamente decreciente, y luego, posiblemente, dos términos en una fila son los mismos, y, a continuación, después de que todos los términos son estrictamente creciente.
Ahora me gustaría considerar cuán rápido la secuencia crece.
jack
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311
Tomando vadim123 idea:
Tenemos $a_{n+1}>a_{n}$ o $a_{n-1}>a_{n}$.
Si $a_{n-1}>a_{n}$ y desde $a_{a_{n-1}}>0$ $a_{n}a_{n-2}>a_{n-1}^2$ a partir de que $a_{n-2}>a_{n-1}>a_{n}$.
Siguiendo este razonamiento, tenemos que la secuencia de $a_{n}$ es estrictamente decreciente,
que es una contracción desde todos los términos de esta secuencia infinita, son números naturales.
Por lo $a_{n-1}< a_{n}$.
Como vadim123 mostró anteriormente $a_n\le a_{n+1}<a_{n+2}<a_{n+3}<\cdots$. Wlog asumen $a_1< a_{2}<a_{3}<a_{4}<\cdots$, es decir, la secuencia es stricly en aumento.
Vamos a utilizar el hecho de que $a_{a_{n}}\geq a_{n}$ (ya que la secuencia es strictlty creciente y $a_{n}\geq n$) repetidamente.
Deje $N>1$ ser tal que $a_{n}>N$.
$a_{a_{n}}\geq a_{n}$
$a_{n+1}a_{n-1}>a_{n}^2+N$
$a_{n+1}a_{n-1}>Na_{n-1}+N$
$a_{n+1}>N+N/a_{n-1}$
$a_{n}>N+N/a_{n-2}$ y desde $a_{n-2}<a_{n-1}$
$a_{n}>N+N/a_{n-1}$.
De nuevo, de $a_{a_{n}}\geq a_{n}$ hemos
$a_{n+1}a_{n-1}>a_{n}^2+N+N/a_{n-1}$
$a_{n+1}a_{n-1}>Na_{n-1}+N+N/a_{n-1}$
$a_{n+1}>N+N/a_{n-1}+N/a_{n-1}^2$
$a_{n}>N+N/a_{n-2}+N/a_{n-2}^2$
$a_{n}>N+N/a_{n-1}+N/a_{n-1}^2$.
Deje $L=\sum_{i=0}^{\infty }1/a_{n}^i>1$.
Repitiendo este proceso una y otra podemos ver que
$a_{n}\geq NL$.
De nuevo, de $a_{a_{n}}\geq a_{n}$ hemos
$a_{n+1}a_{n-1}\geq a_{n}^2+NL$
$a_{n+1}a_{n-1}>NLa_{n-1}+NL$
$a_{n+1}>NL+NL/a_{n-1}$
$a_{n}>NL+NL/a_{n-2}$
$a_{n}>NL+NL/a_{n-1}$.
Repitiendo este proceso una y otra, tenemos: $a_{n}\geq NL^k$ para todos los enteros positivos $k$, lo cual es una contradicción ya que el $\lim_{k \to \infty}NL^k=\infty$.
