Esta pregunta es el resultado de tener demasiado tiempo libre años atrás, durante el servicio militar. Uno de los muchos pasatiempos era jugar tic-tac-dedo del pie en los diferentes tamaños de cuadrícula y dimensiones, y que me llevan a una conjetura. Ahora, después de varios años de formación en matemáticas en una universidad, aún soy incapaz de resolver la conjetura, así que me presente a usted.
El clásico tic-tac-toe juego se juega en un $3\times3$ cuadrícula y dos jugadores se turnan para colocar su marca en algún lugar en la red. El primero en conseguir tres colineales marcas gana. Colineal incluye horizontales, verticales y diagonales. La experiencia muestra que el juego siempre termina en un empate si ambos jugadores juegan de manera inteligente.
Vamos a escribir el tamaño de la cuadrícula $3\times3$$3^2$. Podemos cambiar la longitud de la arista por jugar en cualquier $a^2$ (grid, donde cada jugador intenta obtener $a$ puntos en una fila en el $a\times a$ de la red). También podemos cambiar de dimensión jugando en cualquier $a^d$ cuadrícula, por ejemplo,$3^3=3\times3\times3$. Quiero entender algo acerca de este juego en general$a$$d$. Permítanme repetir: El objetivo es hacer de $a$ colineales marcas.
Supongo que ambos jugadores juegan de una manera óptima. Es bastante fácil ver que el primer jugador gana en un $2^d$ cuadrícula para cualquier $d\geq2$, pero el juego es un empate en $2^1$. El juego es un empate también en $3^1$$3^2$, pero mi experiencia sugiere que el primer jugador gana en $3^3$, pero el juego de los vínculos en $4^d$$d\leq3$. Parece bastante creíble que si no es una estrategia ganadora en $a^d$, hay uno también en $a^{d'}$ cualquier $d'\geq d$, ya que más dimensiones para mover en que da más espacio para ganar filas. Esta respuesta a una pregunta relacionada dice que para cualquier $a$ hay$d$, de modo que no hay una estrategia ganadora en $a^d$.
Esto me lleva a la conjetura:
No es una estrategia ganadora para el tic-tac-dedo del pie en un $a^d$ red si y sólo si $d\geq a$.(Refutada por TonyK la respuesta.)
Hay una caracterización de los casos en los que una estrategia ganadora existe? Resulta no ser tan simple como pensaba.
Para fijar la notación, vamos $$ \delta(a)=\min\{d;\text{primer jugador gana en }a^d\} $$ y $$ \alpha(d)=\max\{a;\text{primer jugador gana en }a^d\}. $$ La pregunta principal es:
Hay una expresión explícita para cualquiera de estas funciones? O decente límites? Respuestas parciales también son bienvenidos.
Tenga en cuenta que el segundo jugador nunca gana, como se ha comentado en este post anterior.
Un comentario para la algebraica-mente: También podemos permitir que las líneas de las marcas para continuar en la cara opuesta al salir de la cuadrícula; esto equivale a dar la cuadrícula de un toro-como la estructura. Ahora no hay puntos especiales, a diferencia de en el caso habitual de los límites. Puntos colineales en un tóricas de cuadrícula de tamaño $a^d$ corresponde a una línea (máxima colineales) en el módulo de $(\mathbb Z/a\mathbb Z)^d$. (Si $a$ es impar, entonces $a$ puntos colineales en el mencionado módulo suman cero, pero lo contrario no siempre se cumple: los nueve puntos en $(\mathbb Z/9\mathbb Z)^3$ con los múltiplos de tres, como todas las coordenadas suman cero, pero no son colineales.) Este enfoque puede ser más útil al $a$ es un primer y el módulo se convierte en un espacio vectorial. De todos modos, si en esta versión del juego parece más manejable, estoy contento con las respuestas acerca de ella (aunque la conjetura como se dijo no es cierto en esta configuración, el primer jugador gana en $3^2$).
