"Parte real" de un campo numérico

Question

Dejemos que ${\mathbb K} \subseteq {\mathbb C}$ sea una extensión finita de $\mathbb Q$ y que $n=[{\mathbb K} : {\mathbb Q}]$ . Dejemos que $X_{\mathbb K}$ denotan el conjunto de todas las "componentes" (es decir, las partes reales e imaginarias) de los elementos en ${\mathbb K}$ . Sea ${\mathbb L}=\mathbb Q(X_{\mathbb K})$ ; se trata de un subcampo de $\mathbb R$ .

Es bastante fácil ver que $[{\mathbb L}:{\mathbb Q}]$ es finito, y de hecho, es $\leq 2n^2$ (véase la prueba más abajo). Denotemos por $f(n)$ el mejor límite posible; he calculado que $f(2)=2$ y $f(3)=6$ y yo pregunto: ¿qué es $f(n)$ ¿en general?

Prueba del límite superior

Dejemos que ${\mathbb M}_1$ denotan la imagen de $\mathbb K$ por conjugación compleja, ${\mathbb M}_2$ el subcampo más pequeño de $\mathbb C$ que contiene tanto $\mathbb K$ y ${\mathbb M}_1$ (el llamado "compositum"), y finalmente ${\mathbb M}_3={\mathbb M}_2[i]$ .

Por construcción, ${\mathbb M}_3$ contiene $i$ y es invariante por conjugación compleja, por lo que también es invariante respecto a la toma de partes reales e imaginarias. Como contiene $\mathbb K$ vemos que ${\mathbb L} \subseteq {\mathbb M}_3$ .

Ahora $[{\mathbb M}_2:{\mathbb Q}]$ es menor que el producto $[{\mathbb K}:{\mathbb Q}][{\mathbb M}_1:{\mathbb Q}]=n^2$ y a su vez $[{\mathbb M}_3:{\mathbb Q}]$ es menor que $2[{\mathbb M}_2:{\mathbb Q}] $ , qed.

Actualización a las 17:39 (en respuesta al comentario de Qiaochu) : no es cierto que $f(n)=2n$ por cada $n \geq 3$ . De hecho, puedo demostrar que $f(4) \geq 12$ . Para comprobarlo, dejemos que $P$ sea cualquier polinomio racional de grado $4$ sin raíces reales, sin raíz puramente imaginaria, y grupo de Galois $S_4$ (por ejemplo, $P=X^4 - 6X^3 + 15X^2 - 19X + 13$ será suficiente). Luego tome ${\mathbb K}={\mathbb Q}(\lambda)$ donde $\lambda$ es cualquier raíz de $P$ . Utilizando la teoría de Galois, es fácil ver que en este caso $[{\mathbb L}:{\mathbb Q}]$ es 12.

Otra forma de decirlo: bajo esas hipótesis, existe un automorfismo $\sigma$ de $\mathbb C$ Fijación de $i$ y $\lambda$ pero no $\bar{\lambda}$ . Este $\sigma$ actúa como la identidad en $\mathbb L$ pero actúa de forma no trivial sobre la parte real de ${\mathbb K}[i]$ .

Answer 1

Elige un elemento primitivo $x \in \mathbb K$ . Entonces $\mathbb M_2 = \mathbb K[\overline{x}]$ . Pero $\overline{x}$ tiene el mismo polinomio mínimo que $x$ en $\mathbb Q$ que factores como $(X-x)Q$ con $Q$ de grado $n-1$ en $\mathbb K [X]$ . Por lo tanto, la extensión $\mathbb K \subset \mathbb M_2$ es como máximo de grado $n-1$ . Esto le da un mejor límite superior, $n(n-1)$ , para $[\mathbb M_2 : \mathbb Q]$ (que se alcanza si y sólo si la acción del grupo de Galois sobre los conjugados de $x$ es $2$ -transitivo).

A continuación, tiene $\mathbb L[i] = \mathbb M_2[i]$ y $[\mathbb L[i] : \mathbb L] = 2$ porque $\mathbb L$ es real. Esto implica que $[\mathbb L : \mathbb Q] = [\mathbb M_2 : \mathbb Q]$ o $[\mathbb M_2 : \mathbb Q]/2$ (dependiendo de si $i \in \mathbb M_2$ o no). Así que $[\mathbb L : \mathbb Q] \le n(n-1)$ .

Lo último que hay que hacer es demostrar que se puede obtener el límite. Supongamos que $n \ge 4$ que el grupo de Galois del cierre de Galois de $\mathbb K$ en $\mathbb Q$ es $S_n$ y que $i \in \mathbb Q[x_1,x_2]$ para un par de conjugados distintos de $x$ . Desde $\mathbb Q \subset \mathbb Q[i]$ es una extensión de Galois y $S_n$ es $2$ -transitivo, debemos tener $i \in \mathbb Q[x_i,x_j]$ para cualquier par de conjugados distintos de $x$ . Como las permutaciones con dos o más puntos fijos generan $S_n$ Debemos tener $i \in \mathbb Q$ , lo cual es falso. Por lo tanto, $i$ no puede estar en $\mathbb Q[x_1,x_2]$ . Por último, si $x$ tiene un conjugado no real, entonces tenemos que $i \notin \mathbb Q[x,\overline{x}]$ y así $[\mathbb L : \mathbb Q] = n(n-1)$