Infinito límite de productos

Question

Supongamos que tenemos la infinita producto $2(1/2)(2^4)(1/2^8)(2^{16})\dots$ tengo una corazonada de que el infinito producto es $0$ a pesar de la parcial del producto que se está estrictamente positivo. Estoy en lo cierto? Si es así, ¿entonces cómo?

Gracias de antemano!

Answer 1

Tomando $\log_2$ de la secuencia, conseguimos que este límite es sólo $2$ a la potencia de

$$1-1+4-8+16$$

que no converge en el sentido normal, por lo que el producto original no convergen.

Answer 2

Tenga en cuenta que tenemos: $2 \cdot \frac 12 \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{2^8} \cdot... = 2 \cdot 2^{-1} \cdot {2^4} \cdot 2^{-8} \cdot ... = 2^{1-1+4-8+16-...}$

Como la suma de los exponentes no convergen tenemos que el producto no convergen.

Answer 3

Para un límite de un infinito producto para existir, necesita de los términos en el producto de la convergencia a la identidad multiplicativa (como con las sumas, a la identidad aditiva). En su producto, ellos no.