Puede un elemento distinto del elemento neutro ser su propio inverso?

Question

Tome la siguiente operación $*$ en el conjunto de $\{a, b\}$:

• $a * b = a$
• $b * a = a$
• $a * a = b$
• $b * b = b$

$b$ es el elemento neutro. Puede $a$ ser también su propio inverso, aunque no es el elemento neutro? O ¿la propiedad del inverso requieren que sólo el elemento neutro que puede ser su propio inverso, pero todos los demás elementos deben tener otro elemento que ser a la inversa.

Answer 1

Sí, un elemento distinto de la identidad puede ser su propio inverso. Un ejemplo sencillo es el de los números de $0,1,2,3$ bajo adición módulo 4, donde 0 es la identidad, y 2 es su propia inversa.

Answer 2

Su conjunto es isomorfo a los dos-grupo de elementos: $b=1$, $a=-1$, $*=$la multiplicación. Así que sí, $a$ puede muy bien ser su propio inverso.

Answer 3

Denotando 1 para el elemento de identidad, tenemos para cada elemento del grupo de $a$:

$a=a^{-1}\Leftrightarrow a^2=1$.

Así que un no-elemento de identidad es su propia inversa de la fib tiene orden 2. Esto es perfectamente posible, como Gerry Myerson mostró. O buscar en el grupo de automorfismos de a $\mathbb{C}-\{0\}$ (invertible anillo homomorphisms), el elemento de identidad de ser el mapa de identidad, y la multiplicación del grupo, siendo la composición de automorpisms. A continuación, el complejo de la conjugación es de orden 2: envía $x+iy$$x-iy$, y el último es enviado de vuelta a $x+iy$.

Answer 4

Todos los elementos que le son propias inversas, constituyen un ejemplo especial de los llamados elementos finitos órdenes; en el finitely generado conmutativa grupos, estos elementos constituyen un subgrupo, llama la torsión grupo finito de orden. Por supuesto, entonces, estos elementos no necesitan ser neutral elementos.

Answer 5

En primer lugar, vamos a obtener algunas definiciones recta.

Definición 1: Un neutro n en un conjunto con una operación binaria * definimos como un elemento n de S tal que para todo s pertenece a S, (s*n)=s y (n*s)=s.

Definición 2: Un inversa i en un conjunto S de un elemento j de S que tiene neutro n y la operación binaria * definimos como un elemento i de S tal que (j*i)=n y (i*j)=n. j y yo no es necesario que vienen como distintos, los textos sólo el uso de letras diferentes para que lleguen como distinto, como suelen hacer a menudo.

Ahora para la operación * en {a, b} se describe en el post original, tenemos b como el neutro. Tenemos (a*a)=b también. Por lo tanto, por definición, 2 elemento "a" de {a, b} califica como su propio inverso. Así, usted tiene un ejemplo sencillo en el post original.