Una granjera tiene c gallinas que han puesto e huevos cada una, que pondrá en b cestas. Cada cesta tiene una probabilidad p(d) de caerse, lo que rompe todos los huevos de la cesta. ¿Cómo debe distribuir la granjera los huevos en las cestas de forma que minimice el número de gallinas cuyos huevos se rompen?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
celtschk
Puntos
13058
Con diferentes probabilidades de caída para cada cesta, debe emplear la siguiente estrategia:
Para cada gallina, pon el primer huevo en la cesta con la menor probabilidad de que se caiga, el segundo huevo en la cesta con la segunda menor probabilidad de que se caiga, y así sucesivamente. En cuanto cada cesta tiene un huevo de la gallina, ya no importa dónde se pongan los demás huevos (porque la cantidad que se quiere minimizar es el número de gallinas que pierden todos los huevos, no el número esperado de huevos rotos; en cuanto todas las cestas tienen al menos un huevo de una gallina, se pierden todos los huevos de esa gallina si se dejan caer todas las cestas, independientemente de cómo se distribuyan los huevos).
Esto puede verse de la siguiente manera:
En primer lugar, la probabilidad de que una gallina determinada pierda todos los huevos es la probabilidad de perder todas las cestas que contienen al menos un huevo. Por lo tanto, si hay al menos una cesta con más de un huevo, y al menos una cesta sin un huevo, se puede disminuir la probabilidad moviendo uno de los huevos de la cesta con dos huevos a la cesta sin huevos (a menos que la probabilidad de perder esa cesta sea $1$ Por supuesto).
En segundo lugar, es obvio que se puede disminuir la probabilidad de perder todos los huevos de una gallina si se trasladan todos los huevos de una cesta a otra cesta vacía que tenga menos probabilidad de caer.
Así que mientras puedas hacer uno de esos movimientos, no estás en el mínimo. Especialmente, para el mínimo no puede haber una cesta vacía con menos probabilidad que una cesta no vacía, y además, si no se llenan todas las cestas, cada cesta puede contener sólo un huevo. La regla de llenado anterior garantiza las dos propiedades.
Tenga en cuenta que "vacío" en las consideraciones anteriores tiene que ser considerado para cada gallina por separado. Es decir, una cesta que contiene huevos de otra gallina se sigue considerando "vacía" si no contiene ningún huevo de la gallina considerada.
Tenga en cuenta que esta regla funciona incluso si tiene un número diferente de huevos para cada gallina.
Suponemos que la probabilidad de cualquier particular La canasta que se deja caer es $p$ y que los excrementos son independientes. Sea $S$ sea el número total de pollos tristes (un pollo está triste si todo sus huevos se rompen).
El número $S$ de pollos tristes es un variable aleatoria . Interpretamos que minimizar $S$ como minimizar el expectativa de $S$ .
Para cada pollo $C_i$ distribuir sus huevos de manera que el mayor número posible de cestas tenga un huevo de $C_i$ . El número de cestas que tienen algunos de sus huevos es entonces $m$ , donde $m=\min(e,b)$ . Dejemos que $S_i=1$ si $C_i$ se entristece, y $0$ de lo contrario. Entonces $S=\sum S_i$ .
Tenemos $E(S_i)=p^m$ por lo que por la linealidad de la expectativa, $E(S)=cp^m$ . Por lo tanto, siempre que hagamos el reparto obvio de los huevos de cada gallina, el número esperado de gallinas tristes no depende sobre otros detalles del proceso de distribución.
Jake
Puntos
118
¿Puede justificarse la mecánica lagrangiana sin remitirse a la mecánica newtoniana?
Claro; uno puede Deducir Leyes de Newton a partir de ella.
La pregunta es si hay que hacerlo.
Por deduciendo Leyes de Newton uno está perdiendo el aspecto crucial de inducción el procedimiento inverso y, en cierto sentido, más difícil; es decir, el descubrimiento y la invención de una teoría que abarque una gama más amplia de fenómenos.
Los conceptos que se incluyen en la mecánica lagrangiana son los que aparecieron por primera vez de forma exacta en la mecánica newtoniana.
