Mostrar que $f'$ no es continua en 0 para que la siguiente función:

Question

$$ f(x) = \begin{cases} x + 2x^2\sin(1/x) & \text{ for }x \neq 0 \\ 0 & \text{ for } x = 0\end{cases} $$

Este es otro examen de la cuestión de práctica en el que estoy trabajando.

Simplemente tomé la derivada:

$$f'(x) = 1 + 4x\sin(1/x) - 2x^4\cos(1/x) $$

Ahora vemos que $f'$ no está definido en $x = 0$, por lo $f'$ no puede ser continua allí.

Es esto suficiente para responder a esta pregunta? La parte anterior de la pregunta que me obligó a utilizar el límite de la definición de la derivada para demostrar que $f'(0) = 1$. Lo necesito para utilizar el límite de la definición de aquí así?

Gracias por los comentarios!

Answer 1

Suficiente para mostrar la $\cos(1/x)$ no es continua en a $0$, tome $x_n=\frac{1}{n\pi}$ $y_n=\frac{2}{(2n+1)\pi}$ tanto la secuencia converge a$0$, pero la secuencia funcional $\cos(1/x_n)$ $\cos(1/y_n)$ converge a$-1$$0$, respectivamente, en el límite diferentes. Por lo $lim_{x\rightarrow 0}\cos(1/x)$ no existe, por lo tanto no es continuo y por lo tanto su función no es continua.