Hola, por favor me ayuden a resolver esta integral $$ \int_0^\infty \frac{\ln(1+x) Li_2 (-x)}{x^{3/2}} dx=-\frac{2\pi}{3}(\pi^2+24\ln 2). $$ Estoy tratando de trabajar a través de todos los logarítmica integrales. Nota, el Polylogarithm función está dada por $Li_2(-x)$, y se define por $$ Li_2(-x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{k^2}, \ |-x|<1 $$ y puede ser extendido mediante analítica continuación para $|-x|>1$. También sabemos que $$ \frac{d}{dx} Li_2(-x)=-\frac{\ln(1+x)}{x}. $$Gracias!
Respuesta
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Una, la más sencilla, es la siguiente:
Hacer el cambio de variables $x=y^2$ a reescribir la integral como $$\mathcal{I}=2\int_0^{\infty} \frac{\ln(1+y^2)\,\operatorname{Li}_2(-y^2)\,dy}{y^2}. $$
Integrar por partes para matar el logaritmo, el uso que $$\int \frac{\ln(1+y^2)\,dy}{y^2}=2\,\Im \ln(1+iy)-\frac{\ln(1+y^2)}{y}-\pi, \tag{1}$$ y también la expresión para la derivada $\operatorname{Li}_2'(-y^2)=-2\frac{\ln(1+y^2)}{y}$. La constante $\pi$ sobre el derecho de (1) es necesario para garantizar la no-divergente (en realidad, de fuga) límite de contribución en $y=\infty$. Encontramos así $$\mathcal{I}=4\int_0^{\infty}\left(2\,\Im \ln(1+iy)-\frac{\ln(1+y^2)}{y}-\pi\right)\frac{\ln(1+y^2)}{y}dy.\tag{2}$$
La antiderivada de (2) puede ser expresada en términos de polylogarithms y funciones elementales. La sustitución de los límites, finalmente, se obtiene $$\boxed{\mathcal{I}=-\frac{2\pi}{3}\Bigl(\pi^2+24\ln 2\Bigr)}$$
