¿Cómo sucede este extraño fenómeno en el cociente de grupos?

Question

En mi pregunta, aquí, aprendí un hecho extraño de los comentarios que fue una sorpresa para mí en la respuesta de Landscape!

y esta sorpresa es :

si $G$ es un grupo, $H$ y $K$ son dos subgrupos normales de $G$ tales que $H$ es isomorfo a $K$ entonces NO es necesario que $G/H$ sea isomorfo a $G/K$.

siempre pensé que dos grupos isomorfos tienen la misma estructura algebraica y por lo tanto podemos tratar con ellos como la misma cosa, ¡podemos usarlos respectivamente de hecho!

pero un ejemplo del miembro Landscape derribó este pensamiento

entonces, ¿por qué sucede esto en grupos cocientes? ¿por qué dos grupos tienen el mismo tipo de isomorfismo conduce a grupos diferentes en cocientes?

además, ¿en qué caso dos grupos isomorfos pueden llevar a cosas diferentes? ¿y en qué caso no importa tratarlos como la misma cosa?

hasta el momento, creo que este fenómeno solo puede suceder en grupos infinitos no grupos finitos "¡también puede que no suceda en grupos generados infinitamente, creo!"

¿alguna aclaración por favor?

Answer 1

El cociente de dos grupos es una operación en un grupo y uno de sus subgrupos. La forma en que el subgrupo se encuentra dentro del grupo más grande es relevante aquí. Al mirar solo el subgrupo y reemplazarlo con una copia isomorfa de él dentro del grupo más grande puede cambiar la forma en que el grupo más pequeño se encuentra dentro del más grande. Como ejemplo simple, considera $G=\mathbb Z_3\times S_3$. Ahora, considera los dos subgrupos $H=\mathbb Z_3\times \{e\}$ y $K=\{e\}\times \{e,(123),(132)\}$. Ambos son normales e isomorfos entre sí. Pero $G/H\cong S_3$ mientras que $G/K\cong \mathbb Z_3\times \mathbb Z_2.

En resumen, los objetos isomorfos pueden intercambiarse de forma segura (siempre con los ojos abiertos) dentro de la categoría donde son isomorfos. Una vez que una construcción está ocurriendo fuera de esa categoría, no puedes simplemente tratar a cosas que son isomorfas en alguna categoría como iguales. Cuando la categoría cambia, la noción de isomorfismo cambia. En el caso anterior, si consideras la categoría cuyos objetos son $(G,H)$ donde $G$ es un grupo y $H$ es un subgrupo normal de $G$, y las flechas $(G,H)\to (G',H')$ son homomorfismos de grupo $\psi:G\to G'$ tales que la restricción de $\psi$ a $H$ cae en $H'$, entonces objetos isomorfos aquí tendrán cocientes isomorfos. La operación de cociente aquí se convierte en un functor de esta categoría $C$ a la categoría $Grp$ de grupos.

En esta categoría, para que $(G,H)$ y $(G',H')$ sean isomorfos significa que hay un isomorfismo de grupo $\psi:G\to G'$ tal que su restricción a $H$ es un isomorfismo en $H'$. Esto dice exactamente que el isomorfismo no solo cambia los nombres de los elementos de los subgrupos, sino también los nombres de los elementos de los grupos más grandes, y de tal manera que todo sea consistente. El contraejemplo que di arriba muestra que $(\mathbb Z_3\times S_3, \mathbb Z_3\times \{e\})$ no es isomorfo a $(\mathbb Z_3\times S_3,\{e\}\times \{e,(123),(132)\}).

Answer 2

Algunos otros ejemplos que pueden ayudarte:

• $G_1\cong G_2=\mathbb Z$, $H_1=2\mathbb Z\cong3\mathbb Z=H_2$ pero $\mathbb Z_2=G/H_1\ncong G/H_2=\mathbb Z_3 $.

• $G_1\cong G_2=D_8$ y $H_1=\langle a\rangle\ncong H_2=\{e,a^2,b,a^2b\}$ pero $D_8/H_1\cong D_8/H_2$.