Sobre la importancia de la orden de bases en lo finito dimensional espacios vectoriales

Question

Estoy leyendo Tapp la Introducción de la Matriz de los Grupos para los estudiantes de Pregrado y escribe:

Deje $V$ $n$- dimensiones (a la izquierda) espacio vectorial sobre $\mathbb K$. A continuación, $V$ es isomorfo a $\mathbb K^n$. De hecho, hay muchos isomorphisms de$V$$\mathbb K^n$. Para cualquier ordenó base $v_1, \dots, v_n$ $V$ el siguiente es un isomorfismo:

$(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) \mapsto (c_1, \dots, c_n)$

Mi pregunta es:

(1) Son todos finitos tridimensional de las bases en los cursos de álgebra lineal, en general, asume automáticamente para ser ordenado ya que la escritura de $b_1, \dots, b_n$ es una orden?

(2) a mí me parece que el orden es irrelevante en el sentido de que el isomorfismo de arriba bien podría mapa de $(c_1 v_1 + \dots + c_n v_n) \mapsto (c_n, \dots, c_1)$. De ahí mi pregunta: ¿es posible dar un isomorfismo sin el uso de un pedido?

Answer 1

Desde una base es casi siempre escritas en un orden específico, en realidad, es más difícil hablar de una desordenada bases que sobre ordenó bases. Usted podría decir, "vamos a $\def\B{\mathcal B}\B\subset V$ base", pero no hay mucho que uno puede hacer con eso. Tan pronto como usted incluso acaba de decir "vamos a $\B=\{b_1,\ldots,b_n\}$" para hablar de sus vectores, que son, de hecho, la especificación de (elegir) un orden en los vectores, y, por tanto, la introducción de un pedido. Si usted realmente desea trabajar con desordenada, usted podría decir: dejemos $I$ ser una (no especificado índice) ajuste de tamaño de la $n$, y deje $\B=\{\,b_i\mid i\in I\,\}$, pero lo mejor sería no utilizar el índice de notación.

Debido a que los componentes de los elementos de $K^n$ vienen en un orden específico (en el isomorfismo se define en la pregunta, los componentes de $c_i$ formulario $n$-tupla del resultado, no de un conjunto), la definición de un isomorfismo $V\to K^n$ requiere el uso de un ordenado; el uso de una desordenada base el isomorfismo no puede ser definida de forma única. Por supuesto, uno puede escoger cualquier orden de la base, pero que da $n!$ diferentes opciones para un isomorfismo donde uno necesita tener una sola. Es por eso que el libro habla acerca de un pedido en este contexto.

Así que para responder a sus preguntas. (1) Sí estoy convencido de que en la mayoría de los cursos de álgebra lineal, bases, se trabaja con la siempre apareceran ordenó bases. Puede haber ocasiones en que usted considere una base sólo como un conjunto de vectores, pero tan pronto como se llega a la expresión de los vectores de coordenadas y la escritura de matrices (y creo que la mayoría de álgebra lineal cursos no se mucho de eso, sobre todo en la introducción), las bases deben ser ordenados. (2) Mientras que todos los pedidos de una desordenada de la base da igual de buenos isomorfismo con $K^n$, uno necesita seleccionar un pedido con el fin de obtener las manos en un específico isomorfismo.

Tal vez, en cierto sentido, se podría definir un isomorfismo utilizando sólo una desordenada de base, o de hecho, sin el uso de cualquier base de todo, pero siempre sería hacer trampa y dependiendo de alguna otra opción. Por ejemplo, usted podría decir, ya que $\dim V=n$ el conjunto de isomorphisms $V\to K^n$ no está vacía; por lo que elegir uno de ellos. Sin embargo, se apoderó de un determinado isomorfismo, que isomorfismo escoge uno específico ordenó a base de $V$, es decir, el conjunto ordenado de vectores que, en fin, el mapa de los sucesivos elementos de la $e_1,\ldots,e_n$ de la norma base de la$~K^n$. La elección de un isomorfismo es exactamente la elección de un pedido.

Para hacer esto en una declaración precisa: hay una natural bijection entre el conjunto de ordenadas de las bases de $V$ y el conjunto de isomorphisms $V\to K^n$, lo que se asocia a un ordenado base $[b_1,\ldots,b_n]$ el isomorfismo $(c_1b_1+\cdots+c_nb_n)\mapsto(c_1,\ldots,c_n)$ (lineal mapa asociando a $v\in V$ $n$- tuplas de coordenadas respecto a la ordenada). No naturales tales bijection existe para el conjunto de desordenada bases de$~V$ (que puede ser visto como un cociente del conjunto de ordenadas de las bases, en virtud de la $n!$ permutaciones de los elementos de cada base).

Answer 2

Edit: Ignorar esta respuesta es incorrecta. Yo soy de ahorro de esta respuesta por el bien de los comentarios, pero Marc respuesta y razonamiento son correctos.

1. Por lo general no. En la mayoría de los textos, no debe suponer una base es ordenado si es que no lo dijo expresamente. Escrito $b_1,\ldots,b_n$ no es generalmente una orden, aunque algunos autores (incluido yo) se usan a veces $(b_1,\ldots,b_n)$ para indicar un orden de bases (porque es una ordenó $n$-tupla).

2. El orden es, de hecho, irrelevante en el por encima de isomorfismo. El punto es que no hay canónica isomorfismo entre finito-dimensional espacios vectoriales y $\mathbb{K}^n$. Siempre se puede definir un isomorfismo tomando una desordenada base $v_1,\ldots,v_n$$V$, y una desordenada base $k_1,\ldots,k_n$$\mathbb{K}^n$, y especificando que $v_i \mapsto k_i$. El pedido sólo importa si usted está haciendo cosas como escribir la matriz de una transformación; a continuación, diferentes ordenamientos de la misma base de resultados en diferentes matrices. El orden no es relevante si solo está en la definición de una transformación lineal (a menos que, por supuesto, usted está utilizando una matriz a hacerlo).

3. La razón más probable de por qué el autor es la elección para definir este particular isomorfismo es reducir la notación. Tiene la anotación de la ventaja de que el momento de especificar un orden de bases, también hay una especificado isomorfismo a $\mathbb{K}^n$; por lo tanto, usted no tiene que ir a acerca de la definición de la isomorfismo cada vez que usted tiene una base nueva. Pero desde un estricto punto de vista matemático no hay ninguna ventaja en absoluto.