significado de una integral en la ecuación de continuidad

Question

Se trata de la ecuación de continuidad. ¿Qué significa la última integral? $$\frac{\mathrm{d}Q_V}{\mathrm{d}t}=\iiint_V \mathrm{d}^3x \,\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\iiint_V\! \mathrm{d}^3x\,\operatorname{div}\,\mathbf{j}=-\iint\limits_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset \mathbf j\;\cdot\mathbf n\,{d}S\,,$$

EDITAR: ¿Y qué hace $\partial V$ ¿quieren decir? ¿Por qué no S como superficie?

Answer 1

La última integral es una integral de superficie. Es el flujo de fluido (corriente) que atraviesa la superficie del volumen integrado en toda la superficie. Es la cantidad de carga que sale del volumen por segundo. ( $\partial V$ significa límite de V y se suman todos los locales $j_\bot dS$ .)

Answer 2

Obsérvese que el rango de integración ha cambiado de $V$ significado sobre el volumen a $\partial{V}$ y que la variable de integración ha cambiado de $\text{d}^3x$ à $\text{d}S$ .

Significa una integral sobre la superficie que limita el volumen.

La curva cerrada sobre los signos de integración implica que la superficie debe ser cerrada.

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Esta expresión es una aplicación de lo que los físicos suelen llamar Ley de Gauss y los matemáticos tienden a conocer como el teorema de la divergencia .