Función tal que $f(x) f(\pi/2 - x) = 1$

Question

Estoy buscando funciones que son suaves ($C^\infty$) entre $0 < x < \pi/2$ que satisfacen la ecuación $$f(x)\, f(\pi/2-x) = 1$$ en el inteverval $0<x<\pi/2$. Sé que la constante de la función $f=1$ satisface esta ecuación, así como de $f=\tan(x)$. Son estas las únicas soluciones?

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Parece que hay una infinidad de $C^\infty$ funciones que trabajo, siempre y cuando la alimentación de la serie en $x=\pi/4$ es consistente con las restricciones provenientes de tomar derivados de la expresión anterior en $\pi/4$. Cada una de estas centrales de la serie debe corresponder a una analítica de la función que satisface la ecuación anterior en un barrio de $x=\pi/4$. Así que la pregunta parece ser la forma en que muchos de analítica son las soluciones para el problema anterior?

Answer 1

Tomando el logaritmo da $$ \log f(x)+\log f(\pi/2 - x)=0, $$ o $$ \log f\left(\pi/4 + (x-\pi/4)\right)=-\log f\left(\pi/4 - (x - \pi/4)\right). $$ Es decir, $\log f$ tiene que ser impar en virtud de la reflexión a través de $\pi/4$. Así que vamos a $g(x)$ ser cualquier extraño función (definida en menos de $|x|<\pi/4$); a continuación, $$ f(x)=\exp{g(x - \pi/4)} $$ cumple las condiciones. Si $g(x)$ es el elegido para ser continuos, lisos o analítica, a continuación, $f(x)$ va a ser igual de "buena" de la función. Por ejemplo, $f(x)=e^{x-\pi/4}$ es una simple analítica ejemplo, o $f(x)=e^{(x-\pi/4)^3}$.

Answer 2

Reescalado el intervalo de a $(0,2),$ queremos $f(x)f(2-x)=1$. Suponiendo que esta $f$ es suave, y decir $f(1)=1$ [una de las dos opciones que hay], vamos a $g(x)$ ser su restricción a $[0,1]$, y, a continuación, en $[1,2]$ tenemos $f(x)=h(x) \equiv 1/g(2-x).$ La derivada de adaptación es automática: $$h'(x)=\frac{-1}{g(2-x)^2}g'(2-x)\cdot (-1),$$ que desde $g(1)=1$ $g'(2-1)=g'(1),$ da una coincidencia entre el lado izquierdo derivado de la $g$ $x=1$ y el lado derecho derivado de la $h$ $1.$

Por lo que parece $f$ puede ser elegido arbitrariamente un valor distinto de cero en $(0,1]$ $f$ suave en una en que intervalo (derivado de la izquierda en $1$ existente), y después a todos los de $(0,2)$, como se señaló.

Este es esencialmente el mismo como Steven Stadniki comentario, solo extendida para mostrar que en realidad no es derivado de problemas de coincidencia. [Así que lo hice wiki de la comunidad.]