La idea esencial de un mapa de Poincaré es reducir la forma de representar un sistema dinámico. Para ello, el sistema debe tener ciertas propiedades, a saber, volver a alguna región de su espacio de estados cada cierto tiempo. Esto se cumple si la dinámica es periódica, pero también funciona con dinámicas caóticas.
Por poner un ejemplo sencillo, en lugar de analizar toda la trayectoria de un planeta, sólo se miraría su posición una vez al año, más concretamente, cada vez que intersecte (con una dirección determinada) un plano
- que es perpendicular al plano en el que se encuentran las trayectorias de los planetas,
- que contiene el cuerpo celeste central alrededor del cual gira el planeta.
Este plano es una sección de Poincaré para la órbita de este planeta, ya que es transversal al flujo del sistema (que recorre las trayectorias del planeta).
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Ahora bien, si la órbita del planeta es exactamente periódica con una longitud de período correspondiente a un año, nuestro registro anual daría siempre el mismo resultado. En otras palabras, nuestro planeta intersectaría la sección de Poincaré en el mismo punto cada año. Sin embargo, si la órbita del planeta es más complicada, por ejemplo la precesión del perihelio de Mercurio El punto de intersección con la sección de Poincaré cambiará ligeramente cada año. Entonces se puede considerar un mapa de Poincaré que describe cómo el punto de intersección de un año depende del punto de intersección del año anterior.
Aunque en este ejemplo sólo me he fijado en la posición geométrica, también puedes fijarte en otros observables y probablemente necesites hacerlo, si no puedes deducir completamente la posición en el espacio de fase a partir de la posición geométrica. En nuestro ejemplo, también tendrías que registrar el impulso del planeta (o algún otro observable).
Ahora, ¿cuál es el objetivo de esto? Si la órbita de nuestro planeta sólo se desvía ligeramente de la periodicidad perfecta, lo que ocurre durante un año no es más que un círculo y, por tanto, es "bastante aburrido" y ofusca las cosas interesantes que ocurren a mayor escala temporal. Esto último puede observarse en nuestro mapa de Poincaré, que nos muestra cómo la órbita cambia ligeramente cada año. Por lo tanto, puede ser más fácil o más ilustrativo analizar sólo el mapa de Poincaré en lugar de toda la trayectoria. Esto es aún más pronunciado en el caso del billar: Entre dos colisiones con un límite, la dinámica es sólo $\dot{x}=v$ .
En particular, ciertas propiedades de su dinámica subyacente se traducen en el mapa de Poincaré, por ejemplo Si la dinámica es caótica, también lo será su mapa de Poincaré. Si, en nuestro ejemplo del planeta, la dinámica es periódica con un periodo de cuatro años, su mapa de Poincaré alternará entre cuatro puntos. Si su dinámica es cuasi-periódica con dos inconmensurable frecuencias (por ejemplo, si un observable es $\sin(x)+\sin(\pi x)$ ), las intersecciones con su sección de Poincaré estarán todas en una curva cerrada. Por ejemplo, la mayoría de las trayectorias rectas sobre la superficie de un toro corresponden a una dinámica con frecuencias inconmensurables y acabarán acercándose arbitrariamente a cualquier punto del toro, es decir, llenan la superficie del toro. Así, la intersección de la trayectoria con una sección de Poincaré perpendicular a la superficie del toro en todos los puntos dará lugar al borde de un círculo (y las secciones de Poincaré no perpendiculares darán lugar a algo parecido a una elipsis). En general, la dimensión de las intersecciones con la sección de Poincaré es la dimensión del atractor menos uno.
Además, si se quiere modelar un sistema observado en el sentido de encontrar ecuaciones que reproduzcan hasta cierto punto su dinámica, se podría empezar por modelar el mapa de Poincaré (es decir, encontrar una fórmula explícita para él).
