¿Hay alguna explicación para las repeticiones después del punto decimal en las divisiones como 24/7

Question

Estaba tratando de dividir 24 entre 7 usando un bolígrafo y un papel.

Cuando ya no tenía más espacio en mi papel cuadriculado, decidí ponerlo en una calculadora.

La calculadora ha devuelto 3,428571428571429 y me he dado cuenta de que ha redondeado el último (un 8 se ha convertido en un 9) dígito para que el algoritmo se detenga.

Pero en mis cuentas el número es 3,428571428571428571414571...

Así que lo calculé en una calculadora de alta precisión, y me di cuenta de que el patrón 857142 se repetirá indefinidamente.

Ya sabía que esto puede ocurrir cuando se hacen tales divisiones, ahora bien, siempre me lo pregunté y pregunté a mis profesores pero nunca obtuve una respuesta a por qué los números se repiten. Es decir, podría tener toda una clase de números al azar y estaría bien, sólo me pregunto por qué tienen este patrón.

¿Hay algún artículo o estudio al respecto para poder leerlo?

Answer 1

Cuando se hace la división larga para $a/b$ en cada decimal, terminas con un resto que está en el rango $0,1,2,\dots,b-1$ . Eso significa que, en algún momento, debes obtener un resto repetido. Pero una vez que obtienes un resto repetido, empiezas a tener dígitos repetidos.

Una cosa que hay que tener en cuenta: los decimales de terminación también son "repetitivos", simplemente se repiten $0$ .

Cualquier expansión decimal que eventualmente se repita puede escribirse como una fracción. Por ejemplo, si

$$x=0.1295343434\dots$$

Entonces:

$$\begin{align}10000x&=1295.343434\dots\\ 1000000x&=129534.3434\dots\end{align}$$

Restando, se obtiene:

$$990000x = 129534-1295 = 128239$$

Hay más cosas, que se refieren sobre todo a la "teoría elemental de los números".

Por ejemplo, si $p$ es primo, entonces $\frac{a}{p}$ siempre tendrá una expansión decimal repetitiva con repeticiones de cierta longitud que es un divisor de $p-1$ . Por ejemplo, $p=7$ significa cualquier $\frac{a}{7}$ tendrá una repetición de longitud $6$ . $\frac{a}{13}$ tiene una repetición de longitud $6$ también. $\frac{a}{17}$ tiene una repetición de longitud $16$ . $37$ tiene una repetición de longitud $3$ que divide $36$ .

Answer 2

La respuesta es: división larga .

Haz la división larga y verás "una explicación para las repeticiones después del punto decimal a ti mismo. :)

Answer 3

En primer lugar $$ \frac{24}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = 3 + \frac{3}{7}, $$ así que déjame responder por qué $$ \frac{3}{7} = 0.428571\,428571\,428571\,428571\,428571 \cdots $$ Dejemos que $$ \begin{align} x &= 0.428571 \\ &+ 0.000000\,428571 \\ &+ 0.000000\,000000\,428571 \\ &+ 0.000000\,000000\,000000\,428571 \\ &+ 0.000000\,000000\,000000\,000000\,428571 \\ &\phantom{\;\;}\vdots \\ &= \frac{428571}{1000000^1} + \frac{428571}{1000000^2} + \frac{428571}{1000000^3} + \frac{428571}{1000000^4} + \frac{428571}{1000000^5} +\cdots \end{align} $$ con cada término adicional siendo un millón de veces más pequeño que el anterior. Convénzase de que $$ 1\,000\,000 x = 428\,571 + x $$ o que $$ 999\,999 x = 428\,571. $$

Así, resulta que $$ x = \frac{428\,571}{999\,999} = \frac{3}{7}. $$

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¿Por qué ha funcionado? Si se considera la lista de números de la forma $$ \begin{align} 9 &= 10^1 - 1 \\ 99 &= 10^2 - 1 \\ 999 &= 10^3 - 1 \\ 9\,999 &= 10^4 - 1 \\ 99\,999 &= 10^5 - 1 \\ 999\,999 &= 10^6 - 1 \\ &\vdots \end{align} $$ finalmente $7$ dividirá uno de ellos (sin resto). ¿Se puede encontrar en $7$ dividir $9$ ? No. $7$ dividir $99$ ? No. $\dots$ En $7$ dividir $999\,999$ ¡Sí! $$ 999\,999 = 7 \cdot 142\,857 $$ así que $$ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 142\,857}{7 \cdot 142\,857} = \frac{428\,571}{999\,999} $$ y el bloque de repetición de la expansión decimal es $428571$ . Para cualquier fracción $\frac{a}{b}$ , encuentre un número de la forma $10^N - 1$ ( $N$ muchos $9$ s) que es un múltiplo de $b$ , ¡y esto es siempre posible! Digamos que $b \cdot r = 10^N - 1$ en la nariz; luego $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot r}{10^N - 1}, $$ por lo que la cadena de $N$ dígitos que componen $a \cdot r$ forma el bloque de repetición en la expansión decimal.

Answer 4

El algoritmo de la división larga entre dos números naturales puede expresarse recursivamente en términos de dos secuencias de números enteros $d_n\text { and } r_n$ con $d_n$ siendo el $n^{th}$ dígito después del punto decimal y $r_n$ siendo el resto después de la $n^{th}$ se ha calculado la cifra.

dejar $d_0$ sea el denominador de su fracción y $r_0$ sea el numerador.

entonces las fórmulas recursivas se pueden expresar como ...

$$d_{n+1} = INT \left ( \frac{10 r_n}{d_0} \right)\text{ and } r_{n+1} = ( 10 r_{n} \mod d_0 ) $$

Una de las ventajas de verlo de esta manera es que es realmente fácil codificar en una hoja de cálculo y hacer gráficos de los primeros 200 dígitos de $\frac{1}{223}$

Otra ventaja es que permite ver fácilmente que sólo el número $d_0$ y la secuencia $r_n$ intervienen en la recursión, de modo que cuando $r_n$ se repite debe repetirse indefinidamente.

también se puede ver que si $r_N=0$ para algunos $N$ entonces $r_n=0$ para todos $n>N$

Así que para ser un decimal "repetitivo" cada elemento de $r_n$ para $n>0$ debe ser un número natural entre $1$ y $d_0 -1$

Por lo tanto, la duración máxima del período es $d_0-1$

Answer 5

Además de la explicación del algoritmo de la división, también hay una explicación de la teoría de los números que es bastante buena. Sea $q\in\mathbb{Q}$ sea cualquier número racional. Escríbalo en la forma $q=\frac{n}{2^a5^bm}$ donde $\gcd(10,m)=1$ . En este momento sólo estamos tratando de limpiar todos los posibles factores de $10$ de $m$ . Ahora considere $10^{\max(a,b)}q=\frac km$ donde $k$ es un número entero. Por el algoritmo de la división $$10^{\max(a,b)}q=\frac km=p+\frac rm,\quad0\le r<m,\quad r,p\in\mathbb{Z}$$ Ahora, el toque de magia de la teoría de los números. Como $\gcd(10,m)=1$ por Fermat-Euler $$10^{\phi(m)}\equiv1\pmod m$$ Pero eso significa $$10^{\phi(m)}-1=lm$$ para algún número entero $l$ . Así, $$\frac rm=\frac {rl}{ml}=\frac{rl}{10^{\phi(m)}-1}$$ Pero $r<m$ así que $rl<ml=10^{\phi(m)}-1$ y así podemos escribir $rl$ como $$rl=d_1d_2\dots d_{\phi(m)}$$ y así $$\frac{rl}{10^{\phi(m)}-1}=d_1d_2\dots d_{\phi(m)}\left(\frac{1}{10^{\phi(m)}}+\frac{1}{10^{2\phi(m)}}+\frac{1}{10^{3\phi(m)}}\right)$$ ¡Así que hemos encontrado la parte recurrente de la expansión decimal!