Consideremos una secuencia de operadores $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}\subset B(X,Y)$ , donde $X,Y$ son espacios vectoriales normados y $B(X,Y)$ denota el espacio de operadores lineales acotados de $X$ a $Y$ . Supongamos que todos los $A_n$ son invertibles (es decir, 1-1 y onto) y $$ \lim_{n\to\infty} A_n=A\ \ \text{in operator norm} $$ donde $A:X\to Y$ no es invertible. Demuestre que $$ \sup_n \|A_n^{-1}\|=\infty $$
Si $\sup_n\|A_n^{-1}\|=M<\infty$ para algunos $M\in{\Bbb R}$ Entonces estoy tratando de mostrar que $A$ debe ser invertible. Lo que he hecho es demostrar que $A$ es 1-1:
Desde $\|A_n-A\|\to 0$ como $n\to\infty$ tenemos $$ \|A_nx-Ax\|\leq\|A_n-A\|\|x\|\to 0\ \ \text{as}\ n\to\infty $$ para todos $x\in X$ . Por lo tanto, si $Ax=0$ entonces $\|A_nx\|\to 0$ es decir, para todos los $\varepsilon>0$ existe $N>0$ tal que $$ \|A_nx\|\leq \varepsilon/M $$ para todos $n>N$ . (Se puede demostrar que $M>0$ Así que no tenemos ningún problema con $1/M$ ). De ello se desprende que $$ \|x\|=\|A_n^{-1}(A_nx)\|\leq \|A_n^{-1}\|\|A_nx\|\leq M\cdot \varepsilon/M=\epsilon. $$ Así, $x=0$ .
¿Cómo puedo demostrar que $A$ ¿también está en?
[AÑADIDO:]Sospecho que se podría necesitar la suposición de integridad de $X$ y $Y$ . Pero no veo un contraejemplo rápido cuando uno de $X$ y $Y$ no es un espacio de Banach.
