Esto es sólo el Eilenberg-Moore categoría, derecho?

Question

Deje $F$ denotar una mónada en $\mathbf{Set}$. Escribir $\mathbf{Set}_F$ para el correspondiente Kleisli categoría y $\mathbf{Set}^F$ para el Eilenberg-Moore categoría. En el tren de vuelta a casa el día de hoy, se me ocurrió que functors $\mathbf{Set}_F^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Set}$ que conservar todos los productos de tamaño pequeño debe ser el mismo como objetos de $\mathbf{Set}^F$, por la sencilla razón de que las flechas de $\mathbf{Set}_F^{\mathrm{op}}$ son de este tipo, como las operaciones de una Lawvere teoría, por lo tanto se espera functors $\mathbf{Set}_F^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Set}$ que preservar los productos de tamaño pequeño a ser una especie de álgebra de operadores. Un poco de búsqueda en torno a dado esto y esto, pero no pude encontrar una manera completamente clara la respuesta.

Pregunta. Es la categoría de los pequeños-producto de la preservación de functors $\mathbf{Set}_F^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Set}$ equivalente a el Eilenberg-Moore categoría $\mathbf{Set}^F$?

Answer 1

Deje $\mathcal{K}$ ser el Kleisli categoría y deje $\mathcal{A}$ ser el Eilenberg–Moore categoría. Consideramos que $\mathcal{K}$ como una subcategoría de $\mathcal{A}$ en la forma obvia, y esto induce a una representación Yoneda $$\mathcal{A} \to [\mathcal{K}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$$ que es totalmente fiel y esencialmente surjective en el pleno de la subcategoría de functors $\mathcal{K}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ que preservar los productos de tamaño pequeño.

En efecto, es evidente que, para cualquier $(A, \alpha)$$\mathcal{A}$, lo representable presheaf $\mathrm{Hom} (-, (A, \alpha))$ da un functor $\mathcal{K}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$ que conserva de productos pequeños. Por otra parte, la counit $\epsilon_{(A, \alpha)} : (F A, \mu_A) \to (A, \alpha)$ es un (regular) epimorphism, por lo que el Yoneda representación $\mathcal{A} \to [\mathcal{K}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$ es fiel. Una idea similar se puede utilizar para mostrar que la Yoneda representación es completa.

Lo esencial surjectivity reclamación queda verificada. Deje $\mathcal{P}$ a la totalidad de la subcategoría de functors $\mathcal{K}^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}$. Evaluación en $(F 1, \mu_1)$ da un olvidadizo functor $U : \mathcal{P} \to \mathbf{Set}$. Deje $L : \mathbf{Set} \to \mathcal{P}$ ser dado por $L X = \mathrm{Hom} (-, (F X, \mu_X))$. Por el Yoneda lema, $$\mathcal{P} (L X, K) \cong K (F X, \mu_X) \cong \mathbf{Set} (X, U K) $$ por lo $L \dashv U$, y la inducida por la mónada es isomorfo a $(F, \eta, \mu)$. Para completar la prueba, es suficiente para demostrar que $U : \mathcal{P} \to \mathbf{Set}$ es monádico; pero $U : \mathcal{P} \to \mathbf{Set}$ es fiel (fácil) y crea $U$-split coequalisers (más difícil), así que esto es una consecuencia de Beck monadicity teorema.