Cómo es exactamente lo que la lógica y las matemáticas interactuar y ¿qué sucede cuando cambiamos la lógica?

Question

[Nota: esta pregunta resultó ser bastante grande, así que si usted piensa que sería mejor dividirlo en pequeñas preguntas, por favor comente. Las preguntas aquí son bastante conceptualmente ligados y dependientes unos de otros, así que pensé que era mejor dejarlas en una sola pieza, ya que tengo la fuerte sospecha de que podría ser una respuesta corta que la respuesta a todas ellas a la vez. (Pero realmente espero que el final abajo suficientemente motiva la longitud de esta pregunta.)]

He estado pensando un poco acerca de los fundamentos de las matemáticas y decidido que es hora de borrar un par de cosas. Creo que va a ser más fáciles de explicar lo que me molesta de algunos ejemplos concretos, así que aquí va. (Ya que, a pesar de siempre haber sido fascinado con el tema, todavía no he encontrado el tiempo para el estudio de la lógica profundamente, es muy posible que voy a decir algunas cosas que son terriblemente mal. En este caso, los comentarios son bienvenidos, ya que uno de los propósitos principales de esta pregunta es aclarar mis ideas.)

Supongamos que soy un matemático y quiero para el estudio de espacios vectoriales. Entonces, como yo lo entiendo, lo que yo quiero hacer es la siguiente. En primer lugar, debo definir formal de la teoría de la $T$, que describen las propiedades básicas de los vectores. Esta teoría de la $T$ es la unión de $V\cup L$ de los no-lógicas de los axiomas (acerca de las propiedades formales de los vectores) y la lógica de los axiomas (estos son sólo los axiomas del cálculo de predicado). Sus modelos son precisamente los espacios vectoriales. Un modelo es algo que interpreta mi teoría, por ejemplo, los modelos en $\mathrm{ZFC}$ de la teoría de la $T$ son precisamente los conjuntos que interpretan nuestra teoría de modo que se convierte en realidad en esta configuración. (Como se puede ver en esta redacción, ya estoy un poco confundido por esto, así que aquí viene mi primera pregunta.)

¿Cuál es el papel exacto de $\mathrm{ZFC}$ aquí? Es sólo la metatheory o es algo más? Hace sentido que quieren ser capaces de interpretar su teoría en el metatheory?

Como se puede ver, menciono metatheory aquí. Este es el siguiente paso. Un matemático siempre quiere tener una buena metatheory a ser capaz de hablar acerca de la teoría. Como yo lo entiendo, el metatheory es principalmente llevado a ser algunos lo suficientemente potente teoría, como $\mathrm{ZFC}$ o quizás $\mathrm{IZF}$ si te gusta intuitionism y así sucesivamente (categoría de teoría, tal vez?) Lo que es interesante aquí es que la teoría en sí misma es casi inútil para los matemáticos sin algún tipo de metatheory. Por ejemplo, la mayoría de álgebra lineal en realidad no sucede en la teoría de los vectores en el espacio, lo que sucede en este metatheory. La teoría por sí sola no puede incluso expresar una declaración como "todo espacio vectorial tiene una base" y mucho menos demostrarlo. (Si me he confundido todos los bits de la terminología por ahí, por favor hágamelo saber. En realidad, después de pensar un poco más, me estoy volviendo convencido de que "metatheory" aquí, lo que probablemente significa que el metatheory de la teoría en la que interpretamos $T$, en este caso el metatheory de $\mathrm{ZFC}$.)

Pero ahora viene lo interesante. Las propiedades que podemos demostrar dependerá de la teoría en la que interpretamos $T$. Por ejemplo, todas las $\mathrm{ZFC}$-modelo de espacio vectorial tendrá una base de una determinada únicamente cardinalidad. Y creo que en algún sitio he leído que es posible construir en algunos intuitionistic teoría de un espacio vectorial sin una base. También puede tener dos bases de diferentes cardinalidades.

Esto suena tan interesante como que me confunde.

Son estos realmente los modelos de la misma teoría de la $T$ o tenemos que cambiar la lógica de los axiomas de $T$ también? Me imagino que si uno quiere ser capaz de interpretar $T$ en un intuitionistic la teoría de conjuntos, uno puede querer reemplazar el predicado de cálculo $L$ con algún tipo de intuitionistic variante de éste, $L_I$? O esto es completamente innecesario? (En este caso probablemente lo es, ya que los axiomas $V$ tratar sólo con un número finito de vectores en un tiempo, ¿verdad? Pero ¿qué pasa si vamos a interpretar $\mathrm{ZFC}$$\mathrm{IZF}$?)

Estoy completamente fascinado con la que uno puede conseguir diferentes, buscando espacios vectoriales, tan solo cambiando la lógica. Así que también me pregunto cuánto lógica podemos reemplazar con algo más, con el fin de obtener resultados interesantes. Esto, sospecho, sólo significaría la interpretación de la teoría de la $T$ en algunos teoría con una lógica diferente. A mí esto me parece a abrir muchas posibilidades interesantes:

Es posible ir al revés y de interpretar $\mathrm{ZFC}$ $T$ o algo extraño, como que? Hay un modelo de $T$ a una extraña teoría que tiene, en cierto sentido, dos finito bases de diferentes cardinalidades?

Y para el final, que en realidad era mi principal motivación de estas consideraciones:

Cuánto lógica (en cualquier sensato sentido de la palabra) tenemos a "tirar" con el fin de hacer posible la construcción de una imagen tridimensional asociativa de la división de álgebra sobre los reales?

Gracias de antemano.

Answer 1

El papel de ZFC en el estudio de los espacios vectoriales, entre otras cosas, es que no solo nos fijamos en el espacio vectorial en sí, nos fijamos en sub_sets_ del espacio vectorial para ver si son subespacios, y queremos ver en las funciones (que también son representados como conjuntos) de un vector a otro del espacio.

El primer orden de la teoría de espacios vectoriales es bueno para estudiar algunas de las propiedades de un determinado espacio vectorial, pero no es capaz de cuantificar, o construir, subconjuntos del espacio vectorial o de funciones entre los diferentes espacios vectoriales. Así que, para el estudio de espacios vectoriales en la forma en que los matemáticos hacen, necesitamos utilizar un sistema que nos permite trabajar con conjuntos y funciones. Hay muchos sistemas que podemos utilizar, pero ZFC es conveniente debido a que (1) la conocemos bastante bien y (2) en la práctica ZFC es lo suficientemente fuerte como para hacer las cosas que queremos hacer con los espacios vectoriales.

Answer 2

Creo que estás confundiendo la idea de una fundacional de la teoría con la idea de un metatheory.

ZFC es usado comúnmente fundacional de la teoría de las matemáticas. Por ejemplo, es posible construir el sistema numérico real de ZFC.

Un metatheory es una teoría que describe otra teoría. He aquí un ejemplo de una teoría, que voy a llamar a FOO:

Proposiciones en FOO consisten en cadenas de los caracteres de la a y la B.

Axioma 1: B es un teorema.

Axioma 2: Si P es un teorema, entonces PA es un teorema.

Si me pongo a probar teoremas en FOO, voy a probar B, BA, BAA, BAAA, ... Todos estos son teoremas. Empiezo a ver un patrón. Yo digo, "Oye, la única teoremas puedo demostrar en FOO consisten en B, seguido por cero o más de Una." Este es un teorema en el metatheory de FOO.

Usted preguntó, "¿Cuál es el papel exacto de ZFC aquí? Es sólo la metatheory o es algo más?" Creo que la respuesta es que no es sólo la metatheory -- y ni siquiera es un metatheory a todos. En esta situación ZFC es una teoría que va a utilizar para construir modelos de T. Por ejemplo, supongamos que estoy preocupado de que hay algo terrible contradicción al acecho en el corazón de la teoría de espacios vectoriales. Si puedo construir modelos de espacios vectoriales uso de ZFC, entonces yo puedo demostrar que cualquier contradicción en la teoría de espacios vectoriales también conduce a una contradicción en ZFC. Esto es reconfortante, porque estoy bastante seguro de que ZFC es consistente.

Hasta donde yo sé, el término "metatheory" no está formalmente definido. Parece que se han originado con Hilbert, lo que significa que es anterior a Gödel, el modelo de la teoría, y de ZFC. Es un vago, filosófico plazo. Pero la idea general parece ser que un metatheory es un informal cosa que construir con el fin de describir algunas de las más formal de la teoría. En el ejemplo anterior, FOO es formal, pero mi observación acerca de los tipos de teoremas que pueden ser probadas en FOO es informal.

Por el contrario, fundacional de la teoría de que ZFC es formal.

Esto puede ayudar a observar que la relación de la modelo con la teoría puede ser simétrica. Vamos a R a ser una teoría de los números reales. Se ha axiomas como x+y=y+x, etc. Sea E una teoría de la geometría Euclidiana. Se ha axiomas como el postulado paralelo. R y E puede ser formalizada, así que vamos a suponer que han sido. Podemos hacer un modelo de E en R, que es lo que Descartes hizo mediante el modelado del avión como pares ordenados de números reales. Pero también podemos hacer un modelo de R en E, que es esencialmente lo que Euclides hizo en los Elementos, donde se discute, por ejemplo, la ley distributiva x(y+z)=xy+xz como un teorema geométrico.

La relación de un metatheory a la teoría que se describe no es simétrica en este camino.

Answer 3

Voy a tratar de contestar algunas de sus preguntas. Creo que su principal problema es la incomprensión del concepto de metatheory y definición, voy a tratar de explicar aquí.

Una definición puede ser formalmente "definido" como un predicado de la forma "$x$ $A$ fib $P(x)$ sostiene que" para algunos de fórmula $P$ en un lenguaje que usted utiliza. Así que para hacer definiciones necesitamos un lenguaje.

Ahora supongamos que queremos estudiar una teoría con herramientas formales, para ello tenemos que definir de manera formal de los objetos que queremos estudiar: por lo tanto para hacer esto necesitamos un lenguaje en el que podemos formalizar/definir los objetos de nuestra teoría (fórmulas, teoremas, teoría, interpretación y así sucesivamente) y una teoría que expone hechos a partir de la cual podemos demostrar teoremas (metatheorems) acerca de la teoría, este tipo de datos (lenguaje+de la teoría) son nuestros metatheory. Podemos elegir entre muchos diferentes metatheories, lo único que necesita es que esta teoría es lo suficientemente rico como para permite formalizar (aka definir) tanto la sintaxis y la semántica de la teoría de que queremos estudiar. Claramente se puede utilizar ZFC, o un conjunto intuitivo de la teoría, sino también una intuitionistic la teoría de conjuntos o ETCS (una categoría de la teoría de conjuntos) o cualquier otra teoría que satisface los requisitos anteriores.

Ahora tenemos que centrarnos en los conceptos de la teoría y el modelo de la teoría. La primera es un conjunto de fórmulas de la lengua (que son objetos de nuestro metatheory) la segunda es una interpretación de dicha teoría, que cumplan las fórmulas de la teoría. Ahora tenemos dos tipos de definición que podemos dar en una teoría: una definición explícita y una definición axiomática. Por definición explícita me refiero a una definición como la que he explicado anteriormente. Una definición axiomática es una manera de decir que un objeto (de mi metatheory) es de un tipo dado si su modelo de una determinada teoría (teoría descrita en mi metatheory). Así que usted puede ver a cualquier definición axiomática como la definición explícita en el metatheory y muchas veces se puede revertir esta construcción de inflexión de una definición explícita en una axiomática: por ejemplo, en el caso de espacio vectorial se puede definir un espacio vectorial como un conjunto que tiene ciertas operaciones de satisfacer algunas de axiomas, pero también puede poco decir que un espacio vectorial es un modelo de la teoría de los dichos axiomas, estas cosas que son la misma cosa.

Espero que me hice claro.