¿Cuál es la integral de $e^x \tan(x)$ ?

Question

¿Cuál es la integral de $e^x \tan(x)$ ? Usando teoremas básicos es difícil de conseguir creo.

Answer 1

$$\tan(x) = -i \frac{1-e^{-2ix}}{1+e^{-2ix}} = -i - 2 i \sum_{k=1}^\infty (-1)^k e^{-2ikx}$$ (convergiendo para $\text{Im}(x) < 0$ )

$$\begin{align} \int e^x \tan(x)\ dx &= -i e^x - 2 i \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \int e^{(1-2ik)x}\ dx \\ &= -i e^x -2i \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{1-2ik} e^{(1-2ik)x} + C \\ &= -i{{ e}^{x}}-{\rm LerchPhi} \left( -{{ e}^{-2ix}},1,1+i/2 \right) {{ e}^{(1-2i)x}} + C \end{align}$$

Esta función Lerch Phi también puede expresarse en términos de una función hipergeométrica:

$${\rm LerchPhi} \left( z,1,1+\frac{i}{2} \right) = \frac{ 4-2i }{5} \ {\mbox{$ _2 $F$ _1 $}\left(1,1+\frac{i}{2};2+\frac{i}{2};z\right)}$$

Answer 2

No estoy seguro de que sree pidiera una respuesta elemental, aunque es posible. No puedo comentar todavía, así que pongo esto en un área de respuesta, aunque no responde; mis disculpas.

Comentario: ¿Existen buenas (y accesibles) referencias para sree sobre cómo utilizar las funciones hipergeométricas para hacer integrales indefinidas? Por ejemplo, ¿escribiría $e^x \tan(x)$ como una serie de potencias (o simplemente el $\tan(x)$ parte) y utilizar algún tipo de convergencia uniforme y las definiciones de las funciones HG ayudan?

Answer 3

No es expresable como función elemental. integrales.com lo expresa mediante funciones hipergeométricas:

$$-i \left( -{{\rm e}^{x}} {\mbox{$ _2 $F$ _1 $}(1,-i/2;1-i/2;\,-{{\rm e}^{2ix}})}+ \left( 1/5-2i/5 \right) {{\rm e}^{ \left( 1+2i \right) x}} {\mbox{$ _2 $F$ _1 $}(1,1-i/2;2-i/2;\,-{{\rm e}^{2ix}})} \right)$$