Mediterráneo Olimpiada de Matemáticas de 2014 número teoría problema.

Question

Parafraseo ligeramente para hacerla más corta.

Probar que para todo entero $S\geq100$ existe un entero positivo $P$ ejemplo de que hay al menos dos diferentes soluciones en los enteros positivos(hasta permutación de $(a,b,c)$) para el sistema de ecuaciones:

$abc=P$

$a+b+c=S$

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Estoy completamente sacado de aquí, estoy teniendo problemas para subir con ejemplos de $S$ que trabajo.

Answer 1

Dado, $abc=P$, $a+b+c=S$. Por lo tanto, $ab=P/c$ $a+b=S-c$ o $x^2-(S-c)x+P/c=0$, pero el determinante debe ser un cuadrado, por lo que, $(S-c)^2-4P/c=r^2$, para algún entero $r$. Deje $P/c=k^2$, de modo que $(S-c)^2=(2k)^2+r^2$ un pythagora la ecuación con $S-c=l^2+m^2$, $k=lm$ y $r=l^2-m^2$. Así que la solución de la ecuación cuadrática, la cual resuelve por $a$$b$, es $a=l^2$, $b=m^2$, y $c=S-(l^2+m^2)$ $P=k^2c=(lm)^2c=l^2m^2[S-(l^2+m^2)]$