Deje $ S = 1! ~2!~\dotsm ~100! $. Demostrar que existe un único entero positivo $k$ tal que $S/k!$ es un cuadrado perfecto.
Pensé que esto era un lindo y divertido problema y hice resolver, pero cualquiera de los métodos alternativos que ustedes se utiliza?
EDICIÓN, el viernes por la mañana; las pruebas con el cambio de los 100 a los otros números. Parece que si, como en el anterior, $S = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \cdots \cdot (4n)!,$ $S / (2n)!$ es un cuadrado.
EEDDIITT TTOOOOO: se necesita el mayor número divisible por 4, esta cosa falla cuando la sustitución de 100 por 6 o 10. INDUCCIÓN: Dado que el $$ T = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \cdots \cdot (4n - 4)!, $$ y $$ T / (2n-2)! = \; \; \mbox{square}. $$ Let $$ S = 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot \cdots \cdot (4n)!. $$ Entonces $$ \color{magenta}{ S / (2n)! = \left( T / (2n-2)! \right) \cdot ((4n-4)!)^4 \cdot (4n-3)^4 \cdot (4n-2)^2 \cdot (4n-1)^2 \cdot 4}$$ es todavía un cuadrado. Yo no ver inmediatamente singularidad en el detalle adecuado, pero sabemos que no podemos perturbar el $2n$ tan alto como el próximo primer o menor que el anterior primer. Tal vez alguna manera de llenar en un argumento. O, singularidad, en general, podría ser falso, en ocasiones más de una respuesta, cuando el primer lagunas son inusualmente grandes. No estoy seguro.
ORIGINAL: Bien, es de 50. Porque de prime 101, $k$ no puede exceder de 100. Porque de todas las exponentes, en realidad, $k$ no puede exceder de 52. Debido a la extraña exponentes justo debajo, $k$ debe ser de al menos 47. En breve, porque de prime 2, $k$ es de al menos 50. Porque de prime 17, $k$ es en la mayoría de los 50. Después de que es una cuestión de coincidencia en detalle y de comprobar que los 50 en realidad trabaja para cada uno de los primos de 2 a 47, que es lo que hace.
Nota $$ 50! = 2^{47} \cdot 3^{22} \cdot 5^{12} \cdot 7^8 \cdot 11^4 \cdot 13^3 \cdot 17^2 \cdot 19^2 \cdot 23^2 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 43 \cdot 47. $$
$S:$
2 4731 1
3 2328 0
5 1124 0
7 734 0
11 414 0
13 343 1
17 250 0
19 220 0
23 174 0
29 129 1
31 117 1
37 91 1
41 79 1
43 73 1
47 61 1
53 48 0
59 42 0
61 40 0
67 34 0
71 30 0
73 28 0
79 22 0
83 18 0
89 12 0
97 4 0
47 2 42
48 2 46
49 2 46
50 2 47
51 2 47
52 2 49
47 3 21
48 3 22
49 3 22
50 3 22
51 3 23
52 3 23
47 5 10
48 5 10
49 5 10
50 5 12
51 5 12
52 5 12
47 7 6
48 7 6
49 7 8
50 7 8
51 7 8
52 7 8
47 11 4
48 11 4
49 11 4
50 11 4
51 11 4
52 11 4
47 13 3
48 13 3
49 13 3
50 13 3
51 13 3
52 13 4
47 17 2
48 17 2
49 17 2
50 17 2
51 17 3
52 17 3
47 19 2
48 19 2
49 19 2
50 19 2
51 19 2
52 19 2
47 23 2
48 23 2
49 23 2
50 23 2
51 23 2
52 23 2
47 29 1
48 29 1
49 29 1
50 29 1
51 29 1
52 29 1
47 31 1
48 31 1
49 31 1
50 31 1
51 31 1
52 31 1
47 37 1
48 37 1
49 37 1
50 37 1
51 37 1
52 37 1
47 41 1
48 41 1
49 41 1
50 41 1
51 41 1
52 41 1
47 43 1
48 43 1
49 43 1
50 43 1
51 43 1
52 43 1
47 47 1
48 47 1
49 47 1
50 47 1
51 47 1
52 47 1
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