Qué espacios pueden utilizarse como "espacios de prueba" para la compactación Stone-Čech?

Question

Compactación de la piedra-Cech $\beta X$ de un espacio completamente regular $X$ se define por la siguiente propiedad: Sea $X$ sea un espacio completamente regular. Sea $i \colon X \hookrightarrow \beta X$ sea una incrustación en un espacio compacto de Hausdorff $\beta X$ . Entonces, para cada mapa continuo $f\colon X \to K$ donde $K$ es un espacio Hausdorff compacto existe un único mapa continuo $\widehat f \colon \beta X \to K$ tal que $\widehat f \circ i =f$ . (En otras palabras, todo mapa continuo $X\to K$ tiene una extensión continua $\beta X\to K$ .)

http://presheaf.com/?d=d4l86n4i40s4n18675m3rw6cye1p

Se sabe que si exigimos que la propiedad anterior sea cierta no para todos los espacios compactos de Hausdorff $K$ pero sólo para $K=[0,1]$ , es decir, para el intervalo unitario, entonces obtenemos una definición equivalente. (Un posible argumento para demostrar esto se basa en el hecho de que todo espacio compacto de Hausdorff se incrusta en una potencia del intervalo unitario).

Mi pregunta es:

Qué espacios (Hausdorff compactos) $K$ tiene una propiedad similar a la del intervalo unitario, es decir, la propiedad de que si exigimos que la propiedad universal de la definición de la compactación de Stone-Cech se cumpla sólo para este espacio $K$ ¿obtenemos entonces una definición equivalente? ¿Se conoce la caracterización completa?

¿Son estos espacios precisamente los generadores del subcategoría de reflexión $\mathbf{CHaus}$ de la categoría $\mathbf{Top}$ ? Aquí $\mathbf{CHaus}$ denota la categoría de espacios compactos de Hausdorff, $\mathbf{Top}$ es la categoría de espacios topológicos. Por generador de una subcategoría reflexiva entiendo un espacio tal que su casco reflexivo es precisamente esta subcategoría.

Por ejemplo, esto es cierto si tomamos el círculo unitario $S$ simplemente porque $[0,1]$ es un subespacio cerrado de $S$ .

Si tomamos $K=\{0,1\}$ con la topología discreta, entonces no podemos repetir el mismo argumento que para el intervalo unitario. (No todo espacio compacto, es un subespacio de alguna potencia $\{0,1\}^a$ .) Así que lo anterior probablemente no es cierto para $K=\{0.1\}$

Answer 1

Estos "espacios de prueba" son exactamente los espacios compactos de Hausdorff que contienen un subespacio homeomorfo a $[0,1]$ . Es evidente que cualquier espacio de este tipo es un espacio de prueba; a la inversa, supongamos que $[0,1]$ no se incrusta en $K$ . Entonces, de hecho, cada mapa $[0,1]\to K$ es constante, ya que cualquier espacio de Hausdorff conectado por un camino está conectado por un arco . Así que tomando $X$ para ser cualquier espacio completamente regular conectado por un camino, cada mapa $X\to K$ es constante. De ello se desprende que cualquier compactación de $X$ satisface su propiedad universal para $K$ . Así, $K$ no es un espacio de prueba.

En cuanto a tu segunda pregunta, sí, son los generadores de CHaus como subcategoría reflexiva. Para cualquier espacio de prueba $K$ y cualquier espacio compacto de Hausdorff $X$ hay una incrustación $i:X\to K^S$ para algún conjunto $S$ (esto se deduce del hecho de que $[0,1]$ se incrusta en $K$ ). Además, esta incrustación puede realizarse como el ecualizador de un par de mapas $K^S\rightrightarrows K^T$ para algunos $T$ es el ecualizador de su par cokernel $K^S\rightrightarrows Y$ y $Y$ es de nuevo Hausdorff compacto, por lo que $Y$ se incrusta en $K^T$ para algunos $T$ . Componiendo el par cokernel con la inclusión $Y\to K^T$ obtenemos un par de mapas $K^S\rightrightarrows K^T$ cuyo ecualizador es $i$ . Así, $X$ es generado por $K$ utilizando los límites. Por el contrario, si $K$ no es un espacio de prueba, entonces es totalmente desconectado de la trayectoria, y entonces es fácil ver que la subcategoría reflexiva generada por $K$ consiste enteramente en espacios totalmente desconectados de la trayectoria.