Evaluando límites - Encontrar múltiples resultados, solo uno de los cuales es correcto

Question

Cuando calculo el límite $$\lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2+x} - \sqrt {x^2-x}$$ Obtengo $2$ respuestas para esta pregunta: $1$ y $0$ pero $1$ es la respuesta correcta. No sé por qué es así, sin embargo. Si multiplicas por el conjugado dividido por el conjugado (1), sacas la raíz cuadrada de la parte superior y la pones en la parte inferior y luego si factorizas $x$ de ambos y lo cancelas con la parte superior obtienes $2/2$ que es $1$. Pero si simplemente factorizas obtienes $$\lim_{x\to\infty} x (\sqrt {1+ 1/x} - \sqrt{1 - 1/x}.$$ Esto se simplifica a 0. Entonces, ¿cómo sabrías qué método usar si no conocieras la respuesta correcta?

Answer 1

Tienes razón al multiplicar el conjugado.

$$\sqrt{x^2+x} - \sqrt {x^2-x}={2x\over\sqrt{x^2+x} + \sqrt {x^2-x}}={2\over\sqrt{1+{1\over x}} + \sqrt {1-{1\over x}}}$$

Answer 2

$ x\bigl( \sqrt{1+\tfrac1x} - \sqrt{1-\tfrac1x} \bigr) $ como $x\to\infty$ es de la forma $\infty\cdot0$, lo cual es indeterminado, por lo tanto tu conclusión es incorrecta. Una forma correcta de eliminar la forma indeterminada es como sugeriste anteriormente: en efecto, \begin{align} \sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x} ={}& \frac{ \left(\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}\right) \left(\color{red}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x}}\right) }{ \color{red}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x}} } \\ ={}& \frac{2x}{ \sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x} } \\ ={}& \frac{2x}{ x\left(\sqrt{1+\frac1x} + \sqrt{1-\frac1x}\right) } \\ ={}& \frac{2}{ \sqrt{1+\frac1x} + \sqrt{1-\frac1x} } \xrightarrow{x\to+\infty} \frac 22 = 1 \end{align} Al hacerlo, pasaste de una forma indeterminada a una forma bien definida.

Answer 3

Para cualquier constante $0 \lt C \in \mathbb{R}$ tenemos $$ \left|\lim_{r\to\infty} (\sqrt{r^2-C}- r)\right| \lt \left| \lim_{r\to\infty}\frac{-C}{r} \right|=0 $$ por lo tanto $$ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}) -1\\ = \lim_{x\to\infty} \left( \left( \sqrt{(x+\frac12)^2-\frac14}- (x+\frac12) \right) -\left( \sqrt{(x-\frac12)^2-\frac14}- (x-\frac12) \right)\right) =0 $$ entonces $$ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2-x}) =1 $$

Answer 4

Pero si solo factorizas obtienes $\lim_{x\to\infty} x (\sqrt {1+ 1/x} - \sqrt{1 - 1/x}).

Esto se simplifica a 0.

La diferencia de raíces cuadradas es aproximadamente igual a $1/x$, por lo que la expresión dentro del límite está cerca en valor a $x (1/x) = 1. Converge a ese valor a medida que $x \to \infty$.

Donde escribiste "se simplifica a 0" eso debe significar "se simplifica, en el límite, a 0" o "converge a 0" o algo así. La diferencia de raíces cuadradas no es igual a $0$ para ningún $x$ finito.

Entonces, ¿cómo sabrías qué método usar si no conocieras la respuesta correcta?

No puedo decir cómo se garantizaría evitar problemas y obtener respuestas correctas utilizando solo métodos básicos de cálculo computacional. Pero notar que la forma del límite es $\infty \cdot 0$ podría levantar la sospecha de que se debe tener cuidado y quizás pueda resolverse mediante algún subrutina estándar como la regla de L'Hôpital o racionalizando las fracciones.